Вопрос школьника
Дан выпуклый четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны а и b. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — данный выпуклый четырёхугольник, а AC и BD — его диагонали, пересекающиеся в точке O. По условию, эти диагонали перпендикулярны и равны a и b соответственно. Проведём от точки O высоты на стороны четырёхугольника. Обозначим точки их пересечения с соответствующими сторонами как E, F, G и H.
Так как диагонали перпендикулярны, то треугольники AOB и COD являются прямоугольными. Поэтому, с помощью теоремы Пифагора, можно найти длины отрезков AE, BE, CE, DE, AF, BF, CF и DF:
AE = BE = $frac{a}{2}$
CE = DE = $frac{b}{2}$
AF = CF = $sqrt{a^2 — frac{b^2}{4}}$
BF = DF = $sqrt{b^2 — frac{a^2}{4}}$
Теперь рассмотрим четыре треугольника: AOE, BOF, COG и DOH. Они являются прямоугольными, так как основания являются серединами сторон четырёхугольника, а высоты — перпендикулярами, проведёнными из точки O. Поэтому, площади этих треугольников можно вычислить по формуле:
$S_{AOE} = frac{1}{2} cdot AE cdot OE$
$S_{BOF} = frac{1}{2} cdot BF cdot OF$
$S_{COG} = frac{1}{2} cdot CG cdot OG$
$S_{DOH} = frac{1}{2} cdot DH cdot OH$
Найдём длины отрезков OE, OF, OG и OH. Они равны, так как являются радиусами вписанной окружности четырёхугольника ABCD:
OE = OF = OG = OH = $frac{1}{2} sqrt{a^2 + b^2}$
Теперь можем вычислить площадь четырёхугольника ABCD по формуле:
$S_{ABCD} = S_{AOE} + S_{BOF} + S_{COG} + S_{DOH}$
$S_{ABCD} = frac{1}{2} cdot AE cdot OE + frac{1}{2} cdot BF cdot OF + frac{1}{2} cdot CG cdot OG + frac{1}{2} cdot DH cdot OH$
$S_{ABCD} = frac{1}{2} cdot frac{a}{2} cdot frac{1}{2} sqrt{a^2 + b^2} + frac{1}{2} cdot sqrt{b^2 — frac{a^2}{4}} cdot frac{1}{2} sqrt{a^2 + b^2} + frac{1}{2} cdot frac{b}{2} cdot frac{1}{2} sqrt{a^2 + b^2} + frac{1}{2} cdot sqrt{a^2 — frac{b^2}{4}} cdot frac{1}{2} sqrt{a^2 + b^2}$
$S_{ABCD} = frac{1}{8} sqrt{(a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2}$
Таким образом, площадь четырёхугольника ABCD с вершинами в серединах сторон равна $frac{1}{8} sqrt{(a^2 + b^2)^2 — 4a^2b^2}$.
