Вопрос школьника
Дан выпуклый многогранник, все грани которого имеют 5, 6 или 7 сторон и в каждой вершине сходится по три ребра. Докажите, что число пятиугольных граней на 12 больше числа семиугольных.
Ответ от учителя
Пусть многогранник имеет $F_5$ пятиугольных граней, $F_6$ шестиугольных граней и $F_7$ семиугольных граней. Также пусть $V$ — количество вершин многогранника, $E$ — количество ребер.
Так как в каждой вершине сходится по три ребра, то $3V = 2E$. Также, каждая грань имеет по 5, 6 или 7 сторон, поэтому $5F_5 + 6F_6 + 7F_7 = 2E$.
Используя формулу Эйлера для выпуклых многогранников $V — E + F = 2$, получаем:
$$V — frac{3V}{2} + F_5 + F_6 + F_7 = 2$$
$$frac{V}{2} + F_5 + F_6 + F_7 = 2$$
$$V + 2F_5 + 2F_6 + 2F_7 = 12$$
$$V + F_5 + F_6 + F_7 = 6$$
Таким образом, мы получили уравнение, связывающее количество вершин и количество граней разных типов. Заметим, что каждая вершина многогранника является концом трех ребер, и каждое ребро многогранника является ребром ровно двух граней. Поэтому количество ребер можно выразить через количество вершин и количество граней:
$$E = frac{3V}{2} = frac{5F_5 + 6F_6 + 7F_7}{2}$$
$$30F_5 + 36F_6 + 42F_7 = 20V$$
$$15F_5 + 18F_6 + 21F_7 = 10V$$
$$3F_5 + 3F_6 + 3F_7 = 2V$$
$$F_5 + F_6 + F_7 = frac{2}{3}V$$
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем:
$$V + frac{2}{3}V = 6$$
$$V = 3$$
Теперь мы знаем, что в многограннике 3 вершины. Рассмотрим одну из них. Из нее выходит 3 ребра, соединяющие ее с другими вершинами. По условию, в каждой вершине сходится по три ребра, поэтому все три ребра, выходящие из этой вершины, должны принадлежать разным граням. Таким образом, каждая вершина многогранника является вершиной ровно трех граней.
Так как всего в многограннике 3 вершины, то всего граней должно быть $F_5 + F_6 + F_7 = frac{2}{3}V = 2$. При этом, по условию, все грани выпуклые, поэтому нельзя иметь только пятиугольные или только семиугольные грани. Значит, в многограннике должны быть две грани, одна из которых пятиугольная, а другая — либо семиугольная, либо шестиугольная.
Пусть первая грань — пятиугольная. Тогда из каждой ее вершины выходят два ребра, принадлежащих другой грани. Поэтому вторая грань должна иметь хотя бы 3 вершины. Если вторая грань — шестиугольная, то из каждой ее вершины выходят два ребра, принадлежащих первой грани, и одно ребро, принадлежащее третьей грани. Таким образом, третья грань должна быть семиугольной. Если же вторая грань — семиугольная, то из каждой ее вершины выходят два ребра, принадлежащих первой грани, и два ребра, принадлежащих третьей грани. Таким образом, третья грань должна быть шестиугольной.
Таким образом, мы получили два варианта многогранников: один с двумя пятиугольными гранями и одной шестиугольной гранью, и другой с двумя пятиугольными гранями и одной семиугольной гранью. В первом случае $F_5 = 2$, $F_6 = 1$, $F_7 = 0$, а во втором случае $F_5 = 2$, $F_6 = 0$, $F_7 = 1$. В обоих случаях $F_5 = F_7 + 2$, что и требовалось доказать.
