Вопрос школьника
Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСD, все ребра которой равны между собой, точка K — середина бокового ребра SС. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и прямую ВD. Найдите площадь основания пирамиды, если площадь полученного сечения равна Q.
Ответ от учителя
Построим пирамиду и отметим на ней точки:
Так как ребра пирамиды равны между собой, то основание пирамиды является квадратом. Обозначим его сторону через $a$. Тогда высота пирамиды равна $h = asqrt{2}/2$.
Построим плоскость, проходящую через точку $K$ и прямую $BD$. Так как точка $K$ является серединой ребра $SC$, то эта плоскость будет проходить через середину ребра $BD$, обозначим ее через точку $M$. Также эта плоскость будет перпендикулярна к ребру $SC$, поэтому она будет проходить через середину ребра $AB$, обозначим ее через точку $N$. Таким образом, получаем следующую картину:
Пусть точка $P$ является точкой пересечения плоскости $KBD$ с ребром $SA$. Тогда треугольник $BPD$ является прямоугольным, так как $BD$ является высотой пирамиды, а $BP$ и $DP$ являются проекциями ребер $BA$ и $DA$ на плоскость $KBD$. Также заметим, что треугольник $BPD$ подобен треугольнику $BAN$, так как угол $BPD$ является прямым, а угол $BAN$ является прямым (так как $AB$ перпендикулярна к $SC$). Таким образом, отношение сторон треугольников $BPD$ и $BAN$ равно отношению высот этих треугольников, то есть:
$$frac{BP}{BA} = frac{BD}{BN}$$
Так как $BA = a$, $BD = h = asqrt{2}/2$ и $BN = a/2$, то получаем:
$$BP = frac{a^2}{2sqrt{2} + 2} = frac{a^2}{2(sqrt{2} + 1)}$$
Теперь заметим, что площадь сечения пирамиды равна площади треугольника $BPD$, которая вычисляется по формуле:
$$S = frac{1}{2} cdot BP cdot BD = frac{a^2}{4(sqrt{2} + 1)}$$
Таким образом, мы нашли выражение для площади сечения пирамиды через сторону ее основания.
Чтобы найти площадь основания пирамиды, нужно решить уравнение относительно $a$:
$$frac{a^2}{4(sqrt{2} + 1)} = Q$$
Отсюда получаем:
$$a^2 = 4Q(sqrt{2} + 1)$$
Так как основание пирамиды является квадратом, то его площадь равна $a^2$. Подставляя выражение для $a^2$, получаем:
$$S_{text{осн}} = 4Q(sqrt{2} + 1)$$
Таким образом, мы нашли площадь основания пирамиды через площадь ее сечения.
