Вопрос школьника
Дана прямая l и точка А. Найдите геометрическое место точек М плоскости таких, что существует поворот на угол 60° с центром на прямой l, переводящий А в М.
Ответ от учителя
Геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию задачи, является окружностью с центром на прямой l и радиусом, равным расстоянию от точки А до прямой l.
Для доказательства этого факта рассмотрим произвольную точку М на этой окружности. Построим поворот на угол 60° с центром на прямой l, переводящий точку А в точку М. Обозначим через B точку, в которую переходит точка, симметричная точке А относительно точки М. Так как угол поворота равен 60°, то треугольник АМВ является равносторонним, а значит, угол МВА также равен 60°. Так как точка В симметрична точке А относительно точки М, то отрезок МВ также является биссектрисой угла МВА. Значит, точка В лежит на перпендикуляре, опущенном из точки М на прямую l. Таким образом, расстояние от точки М до прямой l равно расстоянию от точки А до прямой l, что и требовалось доказать.
Итак, геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию задачи, является окружностью с центром на прямой l и радиусом, равным расстоянию от точки А до прямой l.
