Вопрос школьника
Дана трапеция ABCD, углы A и В которой прямые, угол D равен 30°, сторона АВ равна 3. Точка М, такая, что ВМ и СМ биссектрисы соответствующих углов трапеции, лежит на AD. Найдите AD.
Ответ от учителя
Поскольку углы A и B прямые, то трапеция ABCD является прямоугольной. Пусть угол BCD равен α, тогда угол BAC также равен α, так как они дополнительны. Также угол BDC равен 90°-α, так как сумма углов треугольника BCD равна 180°.
Поскольку ВМ и СМ являются биссектрисами углов B и C соответственно, то углы ABM и BCM равны α/2, а углы DCM и DBM равны (90°-α)/2.
Так как трапеция ABCD прямоугольная, то угол ACD равен 90°-α/2, а угол BCD равен α. Также угол AMD равен углу ACD, так как ВМ является биссектрисой угла B и угол AMB равен углу BCD, так как СМ является биссектрисой угла C.
Из теоремы синусов для треугольника AMD получаем:
AD/sin(90°-α/2) = AM/sin(α/2)
Так как sin(90°-α/2) = cos(α/2), а sin(α/2) = BM/AB, то:
AD/cos(α/2) = AM*AB/BM
Из теоремы синусов для треугольника BCD получаем:
BC/sin(α) = BD/sin(90°-α/2)
Так как sin(90°-α/2) = cos(α/2), а BC = AD-3, то:
(AD-3)*sin(α) = BD*cos(α/2)
Из теоремы синусов для треугольника BMD получаем:
BM/sin(α/2) = BD/sin((90°-α)/2)
Так как sin((90°-α)/2) = cos(α/2), то:
BM = BD*cos(α/2)/sin((90°-α)/2)
Подставляя это выражение для BM в уравнение для AD, получаем:
AD/cos(α/2) = AM*AB/(BD*cos(α/2))
AD = AM*AB*2*sin(α/2)/BD
Также из теоремы синусов для треугольника BCD получаем:
BD = BC/sin(α) = (AD-3)/sin(α)
Подставляя это выражение для BD в уравнение для AD, получаем:
AD = 6*sin(α/2)/(1-sin(α))
Таким образом, чтобы найти AD, нам нужно знать значение угла α. Из угла D равного 30° следует, что угол BCD равен 60°, а угол α равен 30°. Подставляя это значение в формулу для AD, получаем:
AD = 6*sin(15°)/(1-sin(30°)) ≈ 7.54
Ответ: AD ≈ 7.54.
