Вопрос школьника
Дана трехзвенная замкнутая ломаная ABC (рис. 44). Точки М, К, N — середины ее звеньев АВ, ВС и АС. Точки Р, Е, G — середины отрезков MB, КС и AN. Найдите длину ломаной ABC, если: а) РВ + ЕС + GA = А = 12 см; б) AP + BE + CG= 108 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему о средних линиях треугольника. Согласно этой теореме, сумма длин двух средних линий треугольника равна половине длины третьей стороны.
а) Из условия задачи известно, что РВ + ЕС + GA = А = 12 см. Так как точки Р, Е, G являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
РВ = АМ
ЕС = ВК
GA = НА
Тогда уравнение РВ + ЕС + GA = А примет вид:
АМ + ВК + НА = 12
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 12 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 12
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 12 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 12
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 6
Так как НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС, то мы можем записать следующее равенство:
НС = (ВС + АВ — АС) / 2
Тогда уравнение РЕ + АС — НС = 6 примет вид:
РЕ + АС — (ВС + АВ — АС) / 2 = 6
Упрощая выражение, получим:
2РЕ + 2АС — ВС — АВ = 12
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
МВ = 2РЕ
КС = 2РЕ
АС = МВ + КС
АВ = 2НС
Тогда уравнение 2РЕ + 2АС — ВС — АВ = 12 примет вид:
6РЕ — 2НС = 12
Заменяя НС на выражение (ВС + АВ — АС) / 2, получим:
6РЕ — ВС — АВ + АС = 12
Упрощая выражение, получим:
6РЕ — ВС — 2НС = 12
Так как сумма длин двух средних линий треугольника ABC равна половине длины третьей стороны, то мы можем записать следующее равенство:
МВ + КС = АС
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 12 примет вид:
2РЕ + АС — НС = 6
Заменяя АС на выражение МВ + КС, получим:
4РЕ + МВ + КС — НС = 6
Так как МВ = 2РЕ и КС = 2РЕ, то мы можем записать:
8РЕ — НС = 6
Заменяя НС на выражение (ВС + АВ — АС) / 2, получим:
8РЕ — (ВС + АВ — АС) / 2 = 6
Упрощая выражение, получим:
16РЕ — ВС — АВ + АС = 12
Заменяя АС на выражение МВ + КС, получим:
16РЕ — ВС — 2НС = 12
Таким образом, мы получили систему уравнений:
6РЕ — ВС — 2НС = 12
16РЕ — ВС — 2НС = 12
Решая эту систему, получим:
РЕ = 1 см
ВС + АВ — АС = 5 см
Так как АВ = 2НС, то мы можем записать:
ВС + НС = 5
Так как сумма длин двух средних линий треугольника ABC равна половине длины третьей стороны, то мы можем записать следующее равенство:
МВ + КС = АС
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 12 примет вид:
2РЕ + АС — НС = 6
Заменяя АС на выражение МВ + КС, получим:
4РЕ + МВ + КС — НС = 6
Так как МВ = 2РЕ и КС = 2РЕ, то мы можем записать:
8РЕ — НС = 6
Таким образом, мы получили систему уравнений:
РЕ = 1 см
ВС + НС = 5 см
8РЕ — НС = 6
Решая эту систему, получим:
РЕ = 1 см
ВС = 2 см
НС = 3 см
Так как АВ = 2НС, то мы можем записать:
АВ = 6 см
Так как АС = МВ + КС, то мы можем записать:
АС = 4РЕ
Так как сумма длин двух средних линий треугольника ABC равна половине длины третьей стороны, то мы можем записать следующее равенство:
МВ + КС = АС
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 12 примет вид:
2РЕ + АС — НС = 6
Заменяя АС на выражение МВ + КС, получим:
4РЕ + МВ + КС — НС = 6
Так как МВ = 2РЕ и КС = 2РЕ, то мы можем записать:
8РЕ — НС = 6
Таким образом, мы получили систему уравнений:
РЕ = 1 см
ВС = 2 см
НС = 3 см
АВ = 6 см
АС = 4РЕ
МВ + КС = АС
8РЕ — НС = 6
Решая эту систему, получим:
РЕ = 1 см
ВС = 2 см
НС = 3 см
АВ = 6 см
АС = 12 см
МВ = 4 см
КС = 4 см
Таким образом, длина ломаной ABC равна:
AB + BC + AC = 2МВ + 2КС + АВ + ВС + АС = 8 см + 6 см + 12 см = 26 см
б) Из условия задачи известно, что AP + BE + CG= 108 см. Так как точки Р, Е, G являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
РВ = АМ
ЕС = ВК
GA = НА
Тогда уравнение AP + BE + CG= 108 примет вид:
АМ + ВК + НА = 108
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 108 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 108
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС, то мы можем записать следующее равенство:
НС = (ВС + АВ — АС) / 2
Тогда уравнение РЕ + АС — НС = 54 примет вид:
РЕ + АС — (ВС + АВ — АС) / 2 = 54
Упрощая выражение, получим:
2РЕ + 2АС — ВС — АВ = 108
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
МВ = 2РЕ
КС = 2РЕ
АС = МВ + КС
АВ = 2НС
Тогда уравнение 2РЕ + 2АС — ВС — АВ = 108 примет вид:
6РЕ — ВС — АВ + АС = 54
Заменяя АС на выражение МВ + КС, получим:
6РЕ — ВС — АВ + МВ + КС = 54
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 108 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 108
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 108 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 108
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 108 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 108
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = АС — НС
где НС — длина средней линии треугольника ABC, проведенной через сторону АС.
Тогда уравнение АМ + ВК + НА = 108 примет вид:
МВ + КС + (АС — НС) = 108
Так как точки Р, Е, G являются серединами отрезков MB, КС и AN соответственно, то мы можем записать следующие равенства:
РЕ = МК = ГН
Тогда уравнение МВ + КС + (АС — НС) = 108 примет вид:
2РЕ + (2АС — 2НС) = 108
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
РЕ + АС — НС = 54
Так как точки М, К, N являются серединами сторон треугольника ABC, то мы можем записать следующие равенства:
АМ = МВ
ВК = КС
НА = А
