Вопрос школьника
Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством медиан треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC и его медиану AM, где M — середина стороны BC. По свойству медианы, AM делит сторону BC пополам и проходит через точку O, являющуюся серединой отрезка AB.
Аналогично, рассмотрим треугольник ACD и его медиану AN, где N — середина стороны CD. По свойству медианы, AN делит сторону CD пополам и проходит через точку O.
Таким образом, мы получили, что медианы AM и AN пересекаются в точке O, которая является серединой отрезка AC.
Аналогично можно доказать, что медианы BM и DN пересекаются в точке O, а медианы CM и DN пересекаются в точке O.
Таким образом, мы получили, что все три прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке O, которая является точкой пересечения медиан треугольника ABC.
Таким образом, мы доказали, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.
