Вопрос школьника
Даны два интервала; (0; 1) и (5; 10), из первого выбирается число , из второго выбирается число с. Событие состоит в следующем: а) число а меньше числа с; б) число а больше числа ц в) число а + с принадлежит интервалу (5; 10); г) число а + с не принадлежит интервалу (5; 10).
Ответ от учителя
а) Чтобы число а было меньше числа с, нужно выбрать случайное число из интервала (0; 1) и случайное число из интервала (5; 10), и убедиться, что первое число меньше второго. Вероятность этого события равна произведению вероятностей выбора чисел из соответствующих интервалов, то есть:
P(а < с) = P(0 < а < 1) * P(5 < с < 10) = 1/1 * 5/5 = 1/5 б) Чтобы число а было больше числа с, нужно выбрать случайное число из интервала (0; 1) и случайное число из интервала (5; 10), и убедиться, что первое число больше второго. Вероятность этого события также равна произведению вероятностей выбора чисел из соответствующих интервалов: P(а > с) = P(0 < а < 1) * P(5 < с < 10) = 1/1 * 5/5 = 1/5 в) Чтобы сумма чисел а и с принадлежала интервалу (5; 10), нужно выбрать случайное число из интервала (0; 1) и случайное число из интервала (5; 10), и убедиться, что их сумма лежит в интервале (5; 10). Можно рассмотреть два случая: когда число а меньше 1 и когда число а больше 1. Если число а меньше 1, то для того, чтобы сумма а и с попала в интервал (5; 10), число с должно быть больше 4. Таким образом, вероятность этого события равна произведению вероятности выбора числа а из интервала (0; 1) и вероятности выбора числа с из интервала (5; 10) с условием, что с больше 4: P(а + с ∈ (5; 10) | а < 1) = P(0 < а < 1) * P(с > 4 | 5 < с < 10) = 1/1 * 1/2 = 1/2 Если число а больше 1, то для того, чтобы сумма а и с попала в интервал (5; 10), число с должно быть меньше 9 - а. Таким образом, вероятность этого события равна произведению вероятности выбора числа а из интервала (0; 1) и вероятности выбора числа с из интервала (5; 10) с условием, что с меньше 9 - а: P(а + с ∈ (5; 10) | а > 1) = P(0 < а < 1) * P(с < 9 - а | 5 < с < 10) = 1/1 * 1/2 = 1/2 Таким образом, общая вероятность того, что сумма чисел а и с принадлежит интервалу (5; 10), равна сумме вероятностей двух случаев: P(а + с ∈ (5; 10)) = P(а + с ∈ (5; 10) | а < 1) * P(0 < а < 1) + P(а + с ∈ (5; 10) | а > 1) * P(0 < а < 1) = 1/2 * 1/1 + 1/2 * 1/1 = 1/1 г) Чтобы сумма чисел а и с не принадлежала интервалу (5; 10), нужно выбрать случайное число из интервала (0; 1) и случайное число из интервала (5; 10), и убедиться, что их сумма не лежит в интервале (5; 10). Это означает, что либо число а и число с оба меньше 5, либо оба больше 10, либо одно из них меньше 5, а другое больше 10. Можно рассмотреть три случая: когда число а меньше 1, когда число а больше 1, и когда число а равно 1. Если число а меньше 1, то для того, чтобы сумма а и с не попала в интервал (5; 10), число с должно быть меньше 5 - а или больше 10 - а. Таким образом, вероятность этого события равна произведению вероятности выбора числа а из интервала (0; 1) и вероятности выбора числа с из интервала (5; 10) с условием, что с меньше 5 - а или больше 10 - а: P(а + с ∉ (5; 10) | а < 1) = P(0 < а < 1) * (P(с < 5 - а | 5 < с < 10) + P(с > 10 — а | 5 < с < 10)) = 1/1 * (1/4 + 1/4) = 1/2 Если число а больше 1, то для того, чтобы сумма а и с не попала в интервал (5; 10), число с должно быть меньше а - 5 или больше а + 10. Таким образом, вероятность этого события равна произведению вероятности выбора числа а из интервала (0; 1) и вероятности выбора числа с из интервала (5; 10) с условием, что с меньше а - 5 или больше а + 10: P(а + с ∉ (5; 10) | а > 1) = P(0 < а < 1) * (P(с < а - 5 | 5 < с < 10) + P(с > а + 10 | 5 < с < 10)) = 1/1 * (1/4 + 1/4) = 1/2 Если число а равно 1, то для того, чтобы сумма а и с не попала в интервал (5; 10), число с должно быть меньше 4 или больше 9. Таким образом, вероятность этого события равна произведению вероятности выбора числа с из интервала (5; 10) с условием, что с меньше 4 или больше 9: P(а + с ∉ (5; 10) | а = 1) = P(с < 4 | 5 < с < 10) + P(с > 9 | 5 < с < 10) = 1/5 + 1/5 = 2/5 Таким образом, общая вероятность того, что сумма чисел а и с не принадлежит интервалу (5; 10), равна сумме вероятностей трех случаев: P(а + с ∉ (5; 10)) = P(а + с ∉ (5; 10) | а < 1) * P(0 < а < 1) + P(а + с ∉ (5; 10) | а > 1) * P(0 < а < 1) + P(а + с ∉ (5; 10) | а = 1) * P(а = 1) = 1/2 * 1/1 + 1/2 * 1/1 + 2/5 * 1/1 = 9/10
