Вопрос школьника
Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ=А1В1, АС=А1С1, ∠A=∠A1. На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки К и L, а на сторонах А1С1 и В1С1 треугольника А1В1С1 — точки К1 и L1 так, что AK=A1K1, LC=L1C1. Докажите, что: a) KL=K1L1; б) AL=A1L1
Ответ от учителя
a) Для начала заметим, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны, так как у них равны два угла и одна сторона. Также заметим, что треугольники AKC и A1K1C1 подобны, так как у них равны два угла и одна сторона. Аналогично, треугольники BLC и B1L1C1 подобны.
Так как AKC и A1K1C1 подобны, то отношение длин сторон AK и A1K1 равно отношению длин сторон AC и A1C1. То есть, AK/A1K1 = AC/A1C1. Аналогично, BL/B1L1 = BC/B1C1.
Так как треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то отношение длин сторон AB и A1B1 равно отношению длин сторон AC и A1C1. То есть, AB/A1B1 = AC/A1C1.
Теперь рассмотрим треугольник AKL и треугольник A1K1L1. Они подобны, так как у них равны два угла (из-за подобия треугольников AKC и A1K1C1, BLC и B1L1C1) и одна сторона KL = K1L1 (из условия). Таким образом, отношение длин сторон AK и A1K1 равно отношению длин сторон AL и A1L1. То есть, AK/A1K1 = AL/A1L1. Из предыдущих уравнений следует, что AB/A1B1 = BL/B1L1. Умножим это уравнение на AK/AL и получим AB/A1B1 * AK/AL = BL/B1L1 * AK/AL. Из предыдущих уравнений следует, что AB/A1B1 * AC/A1C1 = BC/B1C1. Умножим это уравнение на AK/AL и получим AB/A1B1 * AC/A1C1 * AK/AL = BC/B1C1 * AK/AL. Из предыдущих уравнений следует, что AK/A1K1 * AC/A1C1 = BC/B1C1. То есть, AK/A1K1 * AC/A1C1 * AK/AL = BC/B1C1 * AK/AL. Из этого уравнения следует, что AK/AL = BC/B1C1. Таким образом, AL = AK * B1C1/BC = A1K1 * B1C1/B1C1 = A1K1.
Таким образом, мы доказали, что KL = K1L1 и AL = A1L1.
б) Из предыдущего пункта следует, что AL = A1L1.
