Вопрос школьника
Даны две концентрические окружности. АС и BD — диаметры этих окружностей. Докажите, что АВО = CDO. (Отметьте по ходу решения задачи на чертеже равные элементы.)
Ответ от учителя
Для начала нарисуем данные окружности и их диаметры:
Заметим, что точки A, B, C и D лежат на одной прямой, так как являются концами диаметров. Также заметим, что угол ABO является прямым, так как AB является диаметром окружности. Аналогично, угол CDO является прямым, так как CD является диаметром внешней окружности.
Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO. Они являются прямоугольными, так как углы ABO и CDO прямые. Также они являются подобными, так как углы AOB и COD равны (они являются соответственными углами при параллельных прямых AB и CD) и углы BOA и DOC равны (они являются вертикальными углами).
Таким образом, треугольники ABO и CDO подобны и имеют равные соответствующие углы. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. В частности, AB/CD = BO/DO.
Но так как AB и CD являются диаметрами окружностей, то они равны между собой: AB = CD. Также заметим, что BO = DO, так как они являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому мы можем записать AB/CD = BO/DO как AB/AB = BO/DO, что равно 1 = BO/DO.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ABO и CDO подобны и имеют равные соответствующие углы, а также что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. Значит, угол ABO равен углу CDO, то есть АВО = CDO.
