Вопрос школьника
Даны две окружности. Чему равен радиус окружности, касающейся данных и имеющей центр на прямой, проходящей через их центры, если радиусы данных окружностей и расстояние между их центрами соответственно равны: а) 1, 3, 5; б) 5, 2, 1; в) 3, 4,5? Сколько имеется решений?
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательной, проведенной к окружности из точки касания. Если $r_1$ и $r_2$ — радиусы данных окружностей, а $d$ — расстояние между их центрами, то расстояние от центра искомой окружности до прямой, проходящей через центры данных окружностей, равно $r_1 + r_2 + d$ или $|r_1 — r_2 — d|$, в зависимости от того, какая из окружностей находится внутри другой.
а) $r_1 = 1$, $r_2 = 3$, $d = 5$. Так как $r_1 + r_2 < d$, то искомая окружность находится внутри большей окружности. Расстояние от центра искомой окружности до прямой, проходящей через центры данных окружностей, равно $|r_1 - r_2 - d| = |1 - 3 - 5| = 7$. Значит, радиус искомой окружности равен $r = frac{7}{2}$. б) $r_1 = 5$, $r_2 = 2$, $d = 1$. Так как $r_1 > d + r_2$, то искомая окружность находится снаружи меньшей окружности. Расстояние от центра искомой окружности до прямой, проходящей через центры данных окружностей, равно $r_1 + r_2 + d = 8$. Значит, радиус искомой окружности равен $r = 4$.
в) $r_1 = 3$, $r_2 = 4.5$, $d = 5$. Так как $r_1 + r_2 = d$, то искомая окружность касается обеих данных окружностей. Радиус искомой окружности равен $r = r_1 + r_2 = 7.5$.
Таким образом, в каждом из трех случаев имеется единственное решение.
