Вопрос школьника
Даны две параллельные плоскости. Через точки А и В одной из этих параллельных плоскостей проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А1 и В1. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = а?
Ответ от учителя
Поскольку плоскости параллельны, то прямые АА1 и ВВ1 также параллельны. Таким образом, треугольники АА1В1 и ВВ1А1В1 подобны друг другу.
Из подобия треугольников следует, что отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин соответствующих сторон другого треугольника. То есть:
А1В1 / АВ = В1А1 / ВВ1
Поскольку АВ = а, то:
А1В1 / а = В1А1 / ВВ1
Мы хотим найти А1В1, поэтому перепишем уравнение:
А1В1 = а * В1А1 / ВВ1
Теперь нам нужно найти В1А1 и ВВ1. Рассмотрим треугольник ВВ1А1. Он прямоугольный, поскольку ВВ1 и А1В1 параллельны, а значит, угол В1ВВ1А1 прямой.
Таким образом, по теореме Пифагора:
ВВ1² = В1А1² + А1В1²
Но мы знаем, что В1А1 = А1В1, поскольку треугольники АА1В1 и ВВ1А1В1 подобны. Поэтому:
ВВ1² = 2 * А1В1²
Отсюда:
А1В1 = ВВ1 / √2
Таким образом, мы нашли выражение для А1В1 через ВВ1. Подставляем его в предыдущее уравнение:
А1В1 = а * В1А1 / ВВ1
а * В1А1 / ВВ1 = ВВ1 / √2
В1А1 = ВВ1 * (а / А1В1) * (1 / √2)
Теперь мы знаем В1А1 и ВВ1, поэтому можем найти А1В1:
А1В1 = а * В1А1 / ВВ1
А1В1 = а * ВВ1 * (1 / √2) / ВВ1
А1В1 = а / √2
Таким образом, отрезок А1В1 равен a / √2.
