Вопрос школьника
Даны две равные пересекающиеся окружности с радиусом 5 м. Длина их общей хорды AB равна 8 м. Найдите расстояние между центрами окружностей
Ответ от учителя
Рассмотрим данную ситуацию на рисунке:
Пусть центры окружностей находятся в точках O₁ и O₂, а точка пересечения хорды AB с линией, проходящей через центры окружностей, находится в точке M.
Так как хорда AB является общей для обеих окружностей, то она проходит через центры окружностей O₁ и O₂. Поэтому отрезок MO₁ является радиусом первой окружности, а отрезок MO₂ — радиусом второй окружности.
Также заметим, что треугольник O₁MO₂ является прямоугольным, так как его стороны являются радиусами окружностей, а значит, перпендикулярны к хорде AB, которая является диаметром окружностей.
Теперь рассмотрим треугольник AMO₁. Он также является прямоугольным, так как угол MO₁A является прямым (так как хорда AB перпендикулярна к линии, проходящей через центры окружностей). Значит, по теореме Пифагора:
AM² = AO₁² — OM²
Аналогично, для треугольника BMO₂:
BM² = BO₂² — OM²
Так как радиусы окружностей равны 5 м, то AO₁ = BO₂ = 5 м. Также из условия задачи известно, что длина хорды AB равна 8 м. Значит, AM + BM = 8 м.
Теперь можно выразить расстояние между центрами окружностей через найденные ранее значения:
AB = AM + BM = √(AO₁² — OM²) + √(BO₂² — OM²)
8 = √(5² — OM²) + √(5² — OM²)
8 = 2√(25 — OM²)
4 = √(25 — OM²)
16 = 25 — OM²
OM² = 9
OM = 3 м
Таким образом, расстояние между центрами окружностей равно 2OM = 6 м.
