Вопрос школьника
Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим случай, когда точка А лежит на одной из данных прямых. Тогда через эту точку уже проходит плоскость, которая параллельна данной прямой. Эта плоскость также будет пересекать вторую прямую в какой-то точке, но это не противоречит тому, что через точку А проходит только одна плоскость, так как эта плоскость не будет параллельна второй прямой.
Теперь рассмотрим случай, когда точка А не лежит на ни одной из данных прямых. В этом случае, мы можем провести через точку А прямую, которая пересечет первую прямую в точке В и вторую прямую в точке С. Тогда мы можем построить плоскость, проходящую через точки А, В и С. Эта плоскость будет пересекать первую прямую в точке В и вторую прямую в точке С, но не будет пересекать их в других точках. Таким образом, мы получили плоскость, которая проходит через точку А и параллельна обеим данным прямым.
Наконец, рассмотрим случай, когда точка А не лежит на ни одной из данных прямых, но лежит на пересечении этих прямых. В этом случае, мы можем провести через точку А прямую, которая параллельна одной из данных прямых. Тогда мы можем построить плоскость, проходящую через точку А и эту прямую. Эта плоскость будет параллельна второй прямой, но не будет пересекать ее. Таким образом, мы получили плоскость, которая проходит через точку А и параллельна одной из данных прямых, но не проходит через вторую прямую.
Таким образом, мы доказали, что через точку А проходит только одна плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
