Вопрос школьника
Даны две точки А и В на плоскости. Найдите геометрическое место точек М плоскости, из которых отрезок АВ виден под тупым углом. (Это означает, что угол АМВ тупой.)
Ответ от учителя
Геометрическое место точек М, из которых отрезок АВ виден под тупым углом, является дугой окружности, проходящей через точки А и В и ограниченной двумя перпендикулярными биссектрисами угла АВ.
Для того чтобы понять, почему это так, рассмотрим следующую ситуацию. Пусть точка М лежит на геометрическом месте, то есть угол АМВ тупой. Тогда мы можем провести две биссектрисы угла АМВ, которые пересекутся в точке О. Так как угол АМВ тупой, то точка О лежит вне отрезка АВ.
Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Он является прямоугольным, так как угол АОВ равен 90 градусов (по построению), а угол АВО равен половине угла АМВ, то есть меньше 90 градусов (так как угол АМВ тупой). Также угол ВОА равен половине угла АМВ, то есть меньше 90 градусов. Значит, треугольник АОВ является прямоугольным.
Таким образом, мы получили, что точки, лежащие на геометрическом месте, лежат на окружности, проходящей через точки А и В и ограниченной двумя перпендикулярными биссектрисами угла АВ. Обратно, если точка М лежит на этой окружности, то угол АМВ тупой, так как точка О лежит вне отрезка АВ. Таким образом, геометрическое место точек М является дугой этой окружности.
