Вопрос школьника
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2AM2 — ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2.
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник АВМ. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АМВ имеем:
AM² + VM² = AV²
Выразим VM² из этого уравнения:
VM² = AV² — AM²
Подставим это выражение в условие задачи:
2AM² — (AV² — AM²) = 2AV²
4AM² = 3AV²
AM/AV = √(3/4)
Таким образом, множество всех точек М, удовлетворяющих условию а), состоит из точек, лежащих на окружности с центром в точке А и радиусом, равным √(3/4) * AV.
б) Рассмотрим треугольник АВМ. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АМВ имеем:
AM² + VM² = AV²
Выразим VM² из этого уравнения:
VM² = AV² — AM²
Подставим это выражение в условие задачи:
2AM² + 2(AV² — AM²) = 6AV²
4AM² = 2AV²
AM/AV = √(1/2)
Таким образом, множество всех точек М, удовлетворяющих условию б), состоит из точек, лежащих на окружности с центром в точке А и радиусом, равным √(1/2) * AV.
