Вопрос школьника
Даны фокусы F1, F2 эллипса и сумма расстояний до них с. Докажите, что для произвольной точки С на окружности с центром в F1 и радиусом с серединный перпендикуляр к отрезку F2C будет касательной к эллипсу. Найдите точку касания.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что эллипс можно определить как множество точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна. То есть, если обозначить расстояние от произвольной точки эллипса до фокусов как d1 и d2, то справедливо следующее уравнение:
d1 + d2 = сонстанта
Теперь рассмотрим произвольную точку С на окружности с центром в F1 и радиусом с. Проведем серединный перпендикуляр к отрезку F2C и обозначим точку его пересечения с эллипсом как P. Также обозначим расстояние от точки С до фокусов как d1 и d2, а расстояние от точки P до фокусов как e1 и e2.
Заметим, что точка P лежит на серединном перпендикуляре, а значит, расстояние от нее до точки F1 равно радиусу окружности с. То есть, e1 = с.
Также заметим, что точки F1, F2 и С лежат на одной прямой (так как F1 и F2 являются фокусами эллипса). Значит, расстояние от точки С до точки F2 равно расстоянию от точки F1 до точки P. То есть, d2 = e2.
Теперь можем записать уравнение для точки P:
d1 + e2 = сонстанта
Заменим e2 на d2 и выразим d1:
d1 = с — d2
Подставим это выражение в уравнение для точки P:
с — d2 + d2 = сонстанта
То есть, сумма расстояний от точки P до фокусов равна константе, что и означает, что точка P лежит на эллипсе.
Таким образом, мы доказали, что для произвольной точки С на окружности с центром в F1 и радиусом с серединный перпендикуляр к отрезку F2C является касательной к эллипсу, а точка касания — это точка P, которую мы нашли выше.
