Вопрос школьника
Даны фокусы FF2 гиперболы и разность расстояний до них с. Докажите, что для произвольной точки С на окружности с центром в F, и радиусом с серединный перпендикуляр к отрезку F2C будет касательной к гиперболе, если он пересекается с прямой F2C. Найдите точку касания.
Ответ от учителя
Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$ и разностью расстояний между ними $2a$. Пусть $P$ — произвольная точка на гиперболе, $C$ — произвольная точка на окружности с центром в $F_1$ и радиусом $a$. Требуется доказать, что серединный перпендикуляр к отрезку $F_2C$ является касательной к гиперболе, если он пересекается с прямой $F_2C$.
Для начала заметим, что точка $P$ лежит на гиперболе тогда и только тогда, когда $PF_1 — PF_2 = 2a$. Также заметим, что точка $C$ лежит на окружности с центром в $F_1$ и радиусом $a$ тогда и только тогда, когда $CF_1 = a$.
Пусть $M$ — середина отрезка $F_2C$, $N$ — точка пересечения прямой $F_2C$ с гиперболой, $K$ — точка пересечения прямой $F_2C$ с серединным перпендикуляром к отрезку $F_2C$. Требуется доказать, что $NK$ является касательной к гиперболе.
Заметим, что $MF_2 = MC$, так как $M$ — середина отрезка $F_2C$. Тогда $NF_2 — NC = PF_2 — PC = (PF_1 — PC) — (PF_1 — PF_2) = 2a — 2CF_1 = 2a — 2a = 0$. Значит, точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $F_2C$, то есть $NK$ является высотой треугольника $F_2NC$.
Так как $NF_2 — NC = 0$, то угол $F_2NC$ прямой. Значит, угол $F_2NK$ также прямой, то есть $NK$ является касательной к гиперболе в точке $N$.
Найдем теперь точку касания. Заметим, что $F_2M$ является биссектрисой угла $F_2NC$, так как $MF_2 = MC$. Значит, угол $F_2NM$ равен углу $F_2NC/2$. Но угол $F_2NC$ прямой, поэтому угол $F_2NM$ равен $45^circ$. Также заметим, что треугольник $F_2NC$ равнобедренный, так как $NF_2 = NC$. Значит, угол $F_2CN$ также равен $45^circ$. Тогда угол $F_2CK$ равен $90^circ$, так как $CK$ является серединным перпендикуляром к отрезку $F_2C$. Значит, точка касания $T$ лежит на прямой $F_2K$ и на окружности с центром в $M$ и радиусом $MF_2$. Но $MF_2 = MC$, поэтому точка $T$ лежит на окружности с центром в $M$ и радиусом $MC$. Значит, точка $T$ — середина отрезка $MC$.
Итак, мы доказали, что серединный перпендикуляр к отрезку $F_2C$ является касательной к гиперболе в точке $N$, причем точка касания $T$ является серединой отрезка $MC$.
