Вопрос школьника
Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: А (-6; 1), B(0; 5), С (6; -4), D (0; -8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей О.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что ABCD является прямоугольником, необходимо проверить, что его диагонали AC и BD перпендикулярны друг другу. Для этого можно воспользоваться свойством, что если произведение коэффициентов наклона двух прямых равно -1, то они перпендикулярны.
Коэффициент наклона прямой, проходящей через точки A и C, равен:
k_AC = (y_C — y_A) / (x_C — x_A) = (-4 — 1) / (6 — (-6)) = -5/12
Коэффициент наклона прямой, проходящей через точки B и D, равен:
k_BD = (y_D — y_B) / (x_D — x_B) = (-8 — 5) / (0 — 0) = -13/0
Заметим, что коэффициент наклона прямой BD не определен, так как прямая проходит через две точки с одинаковой абсциссой. Однако, мы можем заметить, что прямая BD является вертикальной и проходит через точку (0, 5), а значит ее уравнение имеет вид x = 0.
Таким образом, мы можем утверждать, что прямые AC и BD перпендикулярны друг другу, так как:
k_AC * k_BD = (-5/12) * (-13/0) = -1/12 * 0 = 0
Так как произведение коэффициентов наклона равно 0, то мы можем утверждать, что прямые AC и BD перпендикулярны друг другу, а значит ABCD является прямоугольником.
Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей, можно воспользоваться формулой для нахождения точки пересечения двух прямых:
x_O = (b_2 — b_1) / (k_1 — k_2)
y_O = k_1 * x_O + b_1
где k_1 и k_2 — коэффициенты наклона прямых, b_1 и b_2 — их свободные члены.
Для диагонали AC имеем:
k_AC = -5/12
b_AC = 1 — k_AC * (-6) = 1 + 5/2 = 7/2
Для диагонали BD имеем:
k_BD = не определен
b_BD = 5
Таким образом, координата x_O точки пересечения диагоналей равна:
x_O = (b_BD — b_AC) / (k_AC — k_BD) = (5 — 7/2) / (-5/12 — 0) = -6
А координата y_O равна:
y_O = k_AC * x_O + b_AC = (-5/12) * (-6) + 7/2 = 29/4
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей равны (-6, 29/4).
