Вопрос школьника
Даны равносторонний треугольник ABC и точка B₁ на стороне AC. На сторонах BC и AB постройте точки A₁ и C₁ так, чтобы треугольник A₁B₁C₁ был равносторонним.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством равностороннего треугольника, которое гласит, что высота, проведенная к стороне равностороннего треугольника, является одновременно медианой и биссектрисой этого треугольника.
Итак, проведем высоту BB₁ к стороне AC. Пусть точка пересечения высоты с стороной AB обозначена через H. Тогда треугольник BB₁H является прямоугольным, а также равнобедренным, так как BH = HH₁ (в равностороннем треугольнике высота является одновременно медианой и биссектрисой). Значит, угол B₁BH равен 60 градусов.
Теперь проведем высоту CC₁ к стороне AB. Пусть точка пересечения высоты с стороной BC обозначена через K. Аналогично, треугольник CC₁K является прямоугольным и равнобедренным, так как CK = KK₁. Значит, угол C₁CK равен 60 градусов.
Таким образом, мы построили два равносторонних треугольника B₁BH и C₁CK, у которых углы B₁BH и C₁CK равны 60 градусов. Осталось только провести от точек H и K отрезки, параллельные сторонам треугольника ABC, и обозначить их точками A₁ и C₁ соответственно. Треугольник A₁B₁C₁ будет равносторонним, так как у него все стороны равны между собой.
