Вопрос школьника
Даны точки A (1; 3), B (–1; 1) и C (2; 2). Определите вид треугольника ABC и найдите координаты центра и радиус описанной около него окружности.
Ответ от учителя
Для определения вида треугольника ABC нужно вычислить длины его сторон и углы между ними. Длины сторон можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:
AB = √[(x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²] = √[(-1 — 1)² + (1 — 3)²] = √8
BC = √[(x₃ — x₂)² + (y₃ — y₂)²] = √[(2 + 1)² + (2 — 1)²] = √10
CA = √[(x₁ — x₃)² + (y₁ — y₃)²] = √[(1 — 2)² + (3 — 2)²] = √2
Затем можно найти углы треугольника с помощью косинусной теоремы:
cos A = (BC² + CA² — AB²) / (2 * BC * CA) = (10 + 2 — 8) / (2 * √10 * √2) = 1/√5
cos B = (CA² + AB² — BC²) / (2 * CA * AB) = (2 + 8 — 10) / (2 * √2 * √8) = -1/√2
cos C = (AB² + BC² — CA²) / (2 * AB * BC) = (8 + 10 — 2) / (2 * √8 * √10) = 1/√5
Значения косинусов можно сравнить с таблицей значений косинусов углов, чтобы определить вид треугольника. Например, если все косинусы положительные, то треугольник остроугольный, если один из косинусов отрицательный, то треугольник тупоугольный, если два косинуса отрицательные, то треугольник тупоугольный и т.д.
В данном случае косинусы углов A и C положительные, а косинус угла B отрицательный, поэтому треугольник ABC тупоугольный.
Чтобы найти координаты центра описанной окружности, нужно найти середины сторон треугольника и пересечение их высот. Середины сторон можно найти с помощью формулы:
x = (x₁ + x₂) / 2, y = (y₁ + y₂) / 2
Например, середина стороны AB имеет координаты:
x = (1 — 1) / 2 = 0, y = (3 + 1) / 2 = 2
Высоты треугольника можно найти с помощью уравнений прямых, проходящих через вершины и перпендикулярных соответствующим сторонам. Например, высота, опущенная из вершины A, имеет уравнение:
x — 1 + (y — 3) / 2 = 0
Высоты пересекаются в точке, которая является центром описанной окружности. Решив систему уравнений, можно найти координаты центра:
x = 1/2, y = 7/4
Наконец, радиус описанной окружности равен половине длины диаметра, который равен длине любой из сторон треугольника. Например, радиус описанной окружности равен:
R = AB / 2 = √8 / 2 = 2√2
