Вопрос школьника
Даны точки А (5, -1, 3), В (1, 2, -6), С (-3, 3, 2). Какая из них ближе к началу координат; к плоскости yz; к оси х; к другим координатным плоскостям и осям?
Ответ от учителя
1. Ближайшая к началу координат точка — это та, у которой наименьшее расстояние до начала координат. Расстояние между точкой и началом координат вычисляется по формуле d = √(x² + y² + z²). Подставляя координаты точек А, В и С в эту формулу, получаем:
d(A) = √(5² + (-1)² + 3²) ≈ 5.92
d(B) = √(1² + 2² + (-6)²) ≈ 6.16
d(C) = √((-3)² + 3² + 2²) ≈ 4.58
Следовательно, точка С ближе всего к началу координат.
2. Ближайшая к плоскости yz точка — это та, у которой расстояние до этой плоскости минимально. Расстояние между точкой и плоскостью вычисляется по формуле d = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²), где a, b, c — коэффициенты уравнения плоскости, а d — свободный член. Уравнение плоскости yz имеет вид x = 0, поэтому коэффициенты a, b, c равны 1, 0, 0 соответственно, а d = 0. Подставляя координаты точек А, В и С в формулу, получаем:
d(A) = |1*5 + 0*(-1) + 0*3 + 0| / √(1² + 0² + 0²) = 5
d(B) = |1*1 + 0*2 + 0*(-6) + 0| / √(1² + 0² + 0²) = 1
d(C) = |-3*0 + 3*3 + 2*2 + 0| / √(0² + 3² + 2²) ≈ 2.83
Следовательно, точка В ближе всего к плоскости yz.
3. Ближайшая к оси х точка — это та, у которой расстояние до этой оси минимально. Расстояние между точкой и осью х вычисляется по формуле d = |y| / √(1² + 0² + 0²). Подставляя координаты точек А, В и С в эту формулу, получаем:
d(A) = |-1| ≈ 1
d(B) = |2| ≈ 2
d(C) = |3| ≈ 3
Следовательно, точка А ближе всего к оси х.
4. Ближайшая к другим координатным плоскостям и осям точка — это та, у которой расстояние до этих плоскостей и осей минимально. Расстояние между точкой и координатной плоскостью или осью вычисляется аналогично предыдущим пунктам. Подставляя координаты точек А, В и С в соответствующие формулы, получаем:
d(A, yz) ≈ 5, d(A, zx) ≈ 3, d(A, xy) ≈ 1
d(B, yz) ≈ 1, d(B, zx) ≈ 6, d(B, xy) ≈ 2
d(C, yz) ≈ 2.83, d(C, zx) ≈ 3, d(C, xy) ≈ 3
Следовательно, точка А ближе всего к оси х и координатной плоскости xy, точка В ближе всего к координатной плоскости yz, а точка С ближе всего к координатной плоскости yz и оси zx.
