Вопрос школьника
Даны точки A, B и M. Постройте точку, симметричную точке M относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB.
Ответ от учителя
Для построения точки, симметричной точке M относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB, нужно выполнить следующие шаги:
1. Найти координаты середины отрезка AB. Для этого нужно найти среднее арифметическое координат точек A и B по каждой оси:
x_0 = (x_A + x_B) / 2
y_0 = (y_A + y_B) / 2
2. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A и B. Для этого нужно воспользоваться формулой:
k = (y_B — y_A) / (x_B — x_A)
Если отрезок AB вертикальный (x_A = x_B), то угловой коэффициент не определен. В этом случае нужно построить вертикальную прямую, проходящую через середину отрезка AB.
3. Найти угловой коэффициент перпендикуляра к прямой AB. Для этого нужно воспользоваться свойством перпендикулярных прямых: угловой коэффициент перпендикуляра равен отрицательному обратному угловому коэффициенту исходной прямой:
k_perp = -1 / k
Если отрезок AB вертикальный, то перпендикуляр горизонтальный (k_perp = 0).
4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной отрезку AB. Для этого нужно воспользоваться формулой:
y — y_M = k_perp * (x — x_M)
Подставляем значение углового коэффициента перпендикуляра и координаты точки M:
y — y_M = k_perp * (x — x_M)
y — y_M = (-1 / k) * (x — x_M)
y = (-1 / k) * (x — x_M) + y_M
5. Найти точку пересечения прямой, построенной в предыдущем шаге, и серединного перпендикуляра к отрезку AB. Для этого нужно решить систему уравнений:
y = (-1 / k) * (x — x_M) + y_M
y = k * (x — x_0) + y_0
Решаем систему методом подстановки:
(-1 / k) * (x — x_M) + y_M = k * (x — x_0) + y_0
(-1 / k) * x + (1 / k) * x_M + y_M = k * x — k * x_0 + y_0
x * (k + (1 / k)) = k * x_0 — (1 / k) * x_M + y_M — y_0
x = (k * x_0 — (1 / k) * x_M + y_M — y_0) / (k + (1 / k))
Подставляем найденное значение x в одно из уравнений системы и находим y:
y = k * (x — x_0) + y_0
6. Найденная точка является симметричной точке M относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB.
