Вопрос школьника
Даны точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых величина AM2 + BM2 равна заданной величине.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи воспользуемся геометрическим подходом. Пусть точки A и B заданы на плоскости, их координаты обозначим как (x1, y1) и (x2, y2) соответственно. Точка M имеет координаты (x, y).
Тогда расстояние от точки M до точки A можно выразить следующим образом:
AM = √((x — x1)² + (y — y1)²)
Аналогично, расстояние от точки M до точки B:
BM = √((x — x2)² + (y — y2)²)
Тогда величина AM² + BM² будет равна:
AM² + BM² = (x — x1)² + (y — y1)² + (x — x2)² + (y — y2)²
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
AM² + BM² = 2x² — 2xx1 — 2xx2 + x1² + x2² + 2y² — 2yy1 — 2yy2 + y1² + y2²
Выразим x² и y² через x и y:
x² = (x — x1)² + 2xx1 — x1² + (x — x2)² + 2xx2 — x2² — y² + y1² + y2² — 2yy1 — 2yy2
y² = (y — y1)² + 2yy1 — y1² + (y — y2)² + 2yy2 — y2² — x² + x1² + x2² — 2xx1 — 2xx2
Подставим полученные выражения для x² и y² в исходное уравнение:
AM² + BM² = 2[(x — x1)² + (y — y1)² + (x — x2)² + (y — y2)²] — (x1² + x2² + y1² + y2²)
Таким образом, множество всех точек M, для каждой из которых величина AM² + BM² равна заданной величине, представляет собой окружность с центром в точке ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2) и радиусом R = √(заданная величина — (x1² + x2² + y1² + y2²)/2).
Итак, чтобы найти множество всех точек M, необходимо найти центр окружности и ее радиус, а затем построить окружность с этими параметрами.
