Вопрос школьника
Даны точки А(0; 0), В(1; 3), С(9; -3). Найдите скалярное произведение АС*СВ . Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
Ответ от учителя
Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними. Таким образом, скалярное произведение АС и СВ можно найти следующим образом:
АС * СВ = |AC| * |BC| * cos(угол между векторами AC и BC)
Для начала найдем векторы AC и BC:
AC = (9-0, -3-0) = (9, -3)
BC = (9-1, -3-3) = (8, -6)
Затем найдем длины этих векторов:
|AC| = √(9² + (-3)²) = √90
|BC| = √(8² + (-6)²) = √100
И, наконец, найдем косинус угла между векторами AC и BC:
cos(угол между векторами AC и BC) = (AC * BC) / (|AC| * |BC|)
= (9*8 + (-3)*(-6)) / (√90 * √100)
= 0.6
Теперь можем найти скалярное произведение:
АС * СВ = |AC| * |BC| * cos(угол между векторами AC и BC)
= √90 * √100 * 0.6
= 30
Для доказательства того, что треугольник ABC прямоугольный, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если квадрат длины наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов длин двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
В данном случае наибольшей стороной является AC, длина которой равна √(9² + (-3)²) = √90. Длины двух других сторон равны √(1² + 3²) = √10 и √(8² + (-6)²) = √100.
Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
√90² = 90
√10² + √100² = 10 + 10 = 20
20 ≠ 90
Таким образом, треугольник ABC не является прямоугольным.
