Вопрос школьника
Даны точки А(2;-1), В(2; 4), С(6;-1).
1. Найдите координаты векторов АВ, СВ.
2. Найдите координаты точки М, делящей пополам отрезок АВ.
3. Найдите длину отрезка СМ.
4. Является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, если D(5; 3)?
Ответ от учителя
1. Координаты вектора АВ можно найти, вычислив разность координат конечной точки В и начальной точки А:
AB = (2-2; 4-(-1)) = (0; 5)
Координаты вектора СВ можно найти аналогично:
CB = (6-2; -1-4) = (4; -5)
2. Координаты точки М, делящей пополам отрезок АВ, можно найти, используя формулы средней точки:
xM = (xA + xB) / 2 = (2 + 2) / 2 = 2
yM = (yA + yB) / 2 = (-1 + 4) / 2 = 1.5
Точка М имеет координаты (2; 1.5).
3. Длину отрезка СМ можно найти, используя формулу расстояния между двумя точками:
СМ = √((xM — xC)² + (yM — yC)²) = √((2 — 6)² + (1.5 — (-1))²) = √(16 + 6.25) ≈ 4.69
Отрезок СМ имеет длину около 4.69.
4. Чтобы проверить, является ли четырехугольник ABCD параллелограммом, нужно убедиться, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.
Мы уже нашли векторы AB и CB. Чтобы найти векторы AD и CD, можно вычислить их как сумму векторов AB и BD, и CB и BD соответственно:
AD = AB + BD = (0; 5) + (3; 4) = (3; 9)
CD = CB + BD = (4; -5) + (3; 4) = (7; -1)
Теперь можно проверить, что противоположные стороны параллельны:
AB || CD, так как их направляющие векторы (0; 5) и (7; -1) коллинеарны (делятся на одно и то же число)
AD || BC, так как их направляющие векторы (3; 9) и (4; -5) коллинеарны (делятся на одно и то же число)
Также нужно проверить, что противоположные стороны равны по длине:
AB = CD, так как их направляющие векторы равны по модулю
AD = BC, так как их направляющие векторы равны по модулю
Итак, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
