Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Даны треугольники ABC и DEF, в которых ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, EF = 14 см, DF = 20 см и BC = 21 см. Найдите AC.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.
В треугольнике ABC найдем длину стороны AB:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 cdot AC cdot BC cdot cos(angle ACB)$
Так как $angle ACB = 180^circ — angle A — angle C = 180^circ — angle D — angle F = angle E$, то
$AB^2 = AC^2 + 21^2 — 2 cdot AC cdot 21 cdot cos(angle E)$
Аналогично, в треугольнике DEF найдем длину стороны DE:
$DE^2 = DF^2 + EF^2 — 2 cdot DF cdot EF cdot cos(angle E)$
Подставим известные значения:
$DE^2 = 20^2 + 14^2 — 2 cdot 20 cdot 14 cdot cos(angle E)$
Так как $angle E = 180^circ — angle A — angle C = 180^circ — angle D — angle F = angle B$, то
$DE^2 = 20^2 + 14^2 — 2 cdot 20 cdot 14 cdot cos(angle B)$
Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 cdot AB cdot BC cdot cos(angle B)$
Подставим найденные значения:
$AC^2 = (AC^2 + 21^2 — 2 cdot AC cdot 21 cdot cos(angle E)) + 21^2 — 2 cdot (AC cdot 21 cdot cos(angle E)) cdot cos(angle B)$
Упростим:
$AC^2 = AC^2 + 2 cdot 21^2 — 2 cdot AC cdot 21 cdot (cos(angle E) + cos(angle B))$
$AC cdot (cos(angle E) + cos(angle B)) = 21^2$
Так как $cos(angle E) = cos(angle B)$ (так как $angle E = angle B$), то
$2 cdot AC cdot cos(angle E) = frac{21^2}{cos(angle E)}$
$2 cdot AC^2 = frac{21^2}{cos(angle E)}$
$AC^2 = frac{21^2}{2 cdot cos(angle E)}$
$AC = sqrt{frac{21^2}{2 cdot cos(angle E)}}$
Осталось найти значение $cos(angle E)$. Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника DEF:
$cos(angle E) = frac{DF^2 + EF^2 — DE^2}{2 cdot DF cdot EF}$
Подставим известные значения:
$cos(angle E) = frac{20^2 + 14^2 — DE^2}{2 cdot 20 cdot 14}$
$cos(angle E) = frac{336 — DE^2}{560}$
Теперь найдем значение $DE^2$:
$DE^2 = 20^2 + 14^2 — 2 cdot 20 cdot 14 cdot cos(angle E)$
Подставим найденное значение $cos(angle E)$:
$DE^2 = 20^2 + 14^2 — 2 cdot 20 cdot 14 cdot frac{336 — DE^2}{560}$
$DE^2 = 20^2 + 14^2 — 2 cdot 20 cdot 14 cdot frac{336}{560} + 2 cdot 20 cdot 14 cdot frac{DE^2}{560}$
$DE^2 = 400 + 196 — 201.6 + 2.8 cdot DE^2$
$1.8 cdot DE^2 = 394.4$
$DE^2 = frac{394.4}{1.8} approx 219.11$
Теперь можем найти значение $cos(angle E)$:
$cos(angle E) = frac{20^2 + 14^2 — DE^2}{2 cdot 20 cdot 14}$
$cos(angle E) = frac{20^2 + 14^2 — 219.11}{2 cdot 20 cdot 14}$
$cos(angle E) approx 0.642$
И, наконец, можем найти значение AC:
$AC = sqrt{frac{21^2}{2 cdot cos(angle E)}} approx sqrt{frac{21^2}{2 cdot 0.642}} approx 23.5$
Ответ: AC ≈ 23.5 см.
