Вопрос школьника
Даны векторы а {2; 4}, b {-3; 6} и с {8; -4}.
1) Докажите, что вектор а перпендикулярен вектору с и не перпендикулярен вектору b.
2) Найдите косинус угла а между векторами b и с.
3) Определите, острым или тупым является угол а.
Ответ от учителя
1) Для того чтобы доказать, что вектор а перпендикулярен вектору с, необходимо проверить, что их скалярное произведение равно нулю: а·с = 2·8 + 4·(-4) = 0. Значит, векторы а и с перпендикулярны. Чтобы доказать, что вектор а не перпендикулярен вектору b, можно проверить, что их скалярное произведение не равно нулю: а·b = 2·(-3) + 4·6 = 18 ≠ 0. Значит, векторы а и b не перпендикулярны.
2) Косинус угла между векторами b и с можно найти по формуле: cos(угол) = (b·с) / (|b|·|с|), где |b| и |с| — длины векторов b и с соответственно. Найдем сначала длины векторов: |b| = √((-3)² + 6²) = √45, |с| = √(8² + (-4)²) = √80. Теперь найдем скалярное произведение векторов b и с: b·с = (-3)·8 + 6·(-4) = -24. Подставляем все значения в формулу: cos(угол) = (-24) / (√45·√80) ≈ -0.707. Значит, косинус угла между векторами b и с равен примерно -0.707.
3) Чтобы определить, острым или тупым является угол а, можно воспользоваться скалярным произведением векторов: если оно положительное, то угол острый, если отрицательное — то тупой, если равно нулю — то векторы перпендикулярны. Вычислим скалярное произведение векторов а и b: а·b = 2·(-3) + 4·6 = 18. Так как оно положительное, то угол а острый.
