Вопрос школьника
Диагональ AC, равная 6 см, разделяет трапецию ABCD с боковыми сторонами AB = 4 см и CD = 6 см на два подобных треугольника. Найдите периметр трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно использовать свойства подобных треугольников. Поскольку диагональ AC разделяет трапецию на два подобных треугольника, то отношение соответствующих сторон этих треугольников должно быть равно.
Обозначим через x длину отрезка AD, который является основанием меньшего треугольника. Тогда длина основания большего треугольника равна 4 + 6 = 10 см.
По условию, диагональ AC равна 6 см, поэтому высота обоих треугольников, опущенная на эту диагональ, также должна быть равна. Обозначим эту высоту через h.
Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ADC:
h^2 + x^2 = 6^2
А в треугольнике ABC:
h^2 + (10 — x)^2 = 6^2
Решая эти уравнения относительно h, получаем:
h = √(36 — x^2)
h = √(36 — (10 — x)^2)
Сравнивая эти выражения, получаем:
√(36 — x^2) = √(36 — (10 — x)^2)
36 — x^2 = 36 — (10 — x)^2
36 — x^2 = 36 — 100 + 20x — x^2
20x = 64
x = 3.2 см
Теперь мы знаем длины всех сторон меньшего треугольника: AD = 3.2 см, AB = 4 см и AC = 6 см. Значит, больший треугольник подобен ему с коэффициентом 10/4 = 2.5.
Теперь можем найти длины оставшихся сторон большего треугольника:
BC = AB × 2.5 = 10 см
CD = AD × 2.5 = 8 см
Теперь можем найти периметр трапеции:
AB + BC + CD + AD = 4 + 10 + 8 + 3.2 = 25.2 см
Ответ: периметр трапеции равен 25.2 см.
