Вопрос школьника
Диагональ АС равнобокой трапеции ABCD (ВС || Il AD) равна 8 см, Z CAD = 38°, Z BAD — 72°. Найдите: 1) стороны трапеции; 2) радиус описанной окружности треугольника АВС
Ответ от учителя
1) Обозначим стороны трапеции как AB, BC, CD и AD. Так как ВС || Il AD, то углы ABC и ADC являются смежными и дополнительными, то есть их сумма равна 180°. Значит, Z BCD = Z CAD = 38°. Также из условия известно, что Z BAD = 72°.
Рассмотрим треугольник ABD. В нем известны два угла и одна сторона (диагональ АС), поэтому мы можем найти все его стороны с помощью теоремы косинусов:
AB^2 + AD^2 — 2AB*AD*cos(Z BAD) = AC^2
AB^2 + AD^2 — 2AB*AD*cos(72°) = 64
Теперь рассмотрим треугольник BCD. В нем известны два угла (Z BCD = Z CAD = 38°) и две стороны (BC = AD и CD = AB — BC), поэтому мы можем найти сторону AB с помощью теоремы синусов:
AB/sin(Z BCD) = CD/sin(Z CAD)
AB/sin(38°) = (AB — BC)/sin(38°)
AB = BC*(1 + 1/sin(38°)) ≈ 11.6 см
Теперь мы можем найти оставшиеся стороны:
AD = sqrt(AB^2 + AC^2 — 2AB*AC*cos(Z BAD)) ≈ 9.4 см
BC = AD ≈ 9.4 см
CD = AB — BC ≈ 2.2 см
2) Радиус описанной окружности треугольника АВС можно найти с помощью формулы:
R = (AB*AC*BC)/(4*S)
где S — площадь треугольника АВС. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:
S = sqrt(p*(p-AB)*(p-AC)*(p-BC))
где p — полупериметр треугольника:
p = (AB + AC + BC)/2
Подставляя значения сторон AB, AC и BC, получаем:
p = (11.6 + 8 + 9.4)/2 = 14
S = sqrt(14*(14-11.6)*(14-8)*(14-9.4)) ≈ 33.6 см^2
Теперь можем найти радиус описанной окружности:
R = (11.6*8*9.4)/(4*33.6) ≈ 4.1 см
Ответ: 1) AB ≈ 11.6 см, BC ≈ 9.4 см, CD ≈ 2.2 см; 2) R ≈ 4.1 см.
