Вопрос школьника
Діагональ АС трапеції АВСИ є бісектрисою
гострого кута А. В якому відношенні
вона ділить другу діагональ, якщо основи
трапеції дорівнюють 6 см і 1 0 см?
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно скористатися властивостями бісектриси трикутника. Згідно з цими властивостями, бісектриса трикутника ділить протилежний кут на дві рівні частини і ділить протилежну сторону відносно інших двох сторін трикутника у відношенні, рівному відношенню інших двох сторін трикутника.
У нашому випадку, діагональ АС трапеції АВСІ є бісектрисою гострого кута А, тому ми можемо скористатися цією властивістю для знаходження відношення, в якому вона ділить другу діагональ.
Для цього ми повинні знайти відношення довжин другої діагоналі трапеції до відстані від точки перетину діагоналей до більшої основи трапеції. Нехай ця відстань дорівнює х.
За властивостями бісектриси трикутника, ми знаємо, що відстань від точки перетину діагоналей до меншої основи трапеції дорівнює 6/10 = 0.6 разів відстані від точки перетину діагоналей до більшої основи трапеції.
Таким чином, відстань від точки перетину діагоналей до більшої основи трапеції дорівнює 0.6x, а відстань від точки перетину діагоналей до меншої основи трапеції дорівнює 0.4x.
За теоремою Піфагора, ми можемо знайти довжину другої діагоналі трапеції:
(0.6x)² + 10² = (0.4x)² + 6²
0.36x² + 100 = 0.16x² + 36
0.2x² = 64
x² = 320
x = √320 = 8√5
Таким чином, відстань від точки перетину діагоналей до більшої основи трапеції дорівнює 0.6x = 4.8√5, а відстань від точки перетину діагоналей до меншої основи трапеції дорівнює 0.4x = 3.2√5.
Отже, діагональ АС ділить другу діагональ у відношенні 4.8√5 : 3.2√5, або 3 : 2.
