Вопрос школьника
Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AB, PABCD = 30 см, ∠ ADC = 120°. Найдите стороны параллелограмма
Ответ от учителя
Пусть сторона AB параллелограмма ABCD равна a, а сторона BC равна b. Так как диагональ BD перпендикулярна стороне AB, то треугольник ABD прямоугольный. Поэтому, применяя теорему Пифагора, получаем:
$AD^2 = AB^2 — BD^2$
Так как AB = CD = a (по свойству параллелограмма), то:
$AD^2 = a^2 — BD^2$
Также, так как ∠ADC = 120°, то ∠ADB = 60° (так как треугольник ABD прямоугольный). Тогда, применяя тригонометрические функции к треугольнику ABD, получаем:
$BD = AD cdot tan 60° = sqrt{3} cdot AD$
Теперь мы можем выразить AD через BD:
$AD = frac{BD}{sqrt{3}}$
Подставляя это выражение в предыдущее уравнение, получаем:
$frac{BD^2}{3} = a^2 — BD^2$
$BD^2 = frac{3}{4}a^2$
Также, по свойству параллелограмма, AC = BD. Поэтому:
$AC^2 = BD^2 = frac{3}{4}a^2$
Таким образом, мы получили два уравнения:
$BD^2 = frac{3}{4}a^2$
$AC^2 = frac{3}{4}a^2$
Из этих уравнений можно выразить BD и AC через a:
$BD = frac{sqrt{3}}{2}a$
$AC = frac{sqrt{3}}{2}a$
Таким образом, мы нашли, что сторона параллелограмма равна a, а смежные стороны равны $frac{sqrt{3}}{2}a$.
