Вопрос школьника
Диагональ BD трапеции ABCD с основаниями AD и BC, где BC < AD, пересекает ее среднюю линию MK в точке N, MN : NK = 3 : 1, AD = 24 см. Найдите BC
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойства средней линии трапеции. Средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равна полусумме оснований. Также известно, что точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ на две равные части.
Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD как точку O. Так как точка N является серединой средней линии MK, то ON является медианой треугольника BMK. Также из условия задачи известно, что отношение MN к NK равно 3:1, то есть точка N делит медиану ON в отношении 3:1.
Пусть точка P является серединой отрезка AD. Тогда OP является медианой треугольника ABD. Так как точка O является точкой пересечения медиан треугольника ABD, то OP делит диагональ BD на две равные части.
Таким образом, мы получили, что точка O является точкой пересечения медиан треугольников ABD и BMK, а также точкой пересечения диагоналей трапеции ABCD. Значит, точка O является центром тяжести трапеции ABCD.
Из свойств центра тяжести трапеции следует, что расстояние от центра тяжести до каждой из оснований равно половине расстояния между основаниями. Таким образом, мы можем записать уравнение:
BC + AD = 2 * ON
Так как точка O является центром тяжести, то ON является медианой треугольника ABC. Из свойств медиан треугольника следует, что она делит сторону на две равные части. Значит, мы можем записать уравнение:
ON = 1/2 * BC
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
BC + 24 = 4 * ON
BC + 24 = 2 * BC
BC = 24
Таким образом, мы получаем, что BC равно 24 см.
