Вопрос школьника
Диагональ куба равна 1. Найдите его объём.
Составьте и решите задачу, обратную данной в 1).
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна 1 и составляет углы φ1, и φ2 с двумя его:
а) рёбрами;
б) гранями.
Ответ от учителя
1) Объём куба можно найти по формуле V = a^3, где a — длина ребра куба. Так как диагональ куба равна 1, то по теореме Пифагора можно найти длину ребра куба: a = √(1/3). Подставляем значение a в формулу для объёма: V = (√(1/3))^3 = 1/3√3.
2) Обратная задача: найдём длину ребра куба, если его объём равен 8. Объём куба можно найти по формуле V = a^3, где a — длина ребра куба. Подставляем значение объёма и находим длину ребра: a = ∛8 = 2.
3) а) Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле V = abc, где a, b, c — длины его рёбер. Так как диагональ параллелепипеда равна 1, то по теореме Пифагора можно найти длины рёбер: a = √(1/(cos^2φ1 + cos^2φ2)), b = √(1/(cos^2φ1 + sin^2φ2)), c = √(1/(sin^2φ1 + cos^2φ2)). Подставляем значения a, b, c в формулу для объёма: V = √(1/(cos^2φ1 + cos^2φ2)) * √(1/(cos^2φ1 + sin^2φ2)) * √(1/(sin^2φ1 + cos^2φ2)) = 1/√(cos^2φ1 * cos^2φ2 * sin^2φ1 * sin^2φ2)).
б) Объём прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле V = abc, где a, b, c — длины его рёбер. Так как диагональ параллелепипеда равна 1, то по теореме Пифагора можно найти длины рёбер: a = √(1/2) * cosφ1 * cosφ2, b = √(1/2) * cosφ1 * sinφ2, c = √(1/2) * sinφ1. Подставляем значения a, b, c в формулу для объёма: V = √(1/2) * cosφ1 * cosφ2 * cosφ1 * sinφ2 * sinφ1 = 1/2 * cosφ1 * cosφ2 * sinφ1 * sinφ2.
