Вопрос школьника
Диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол 30° со второй стороной. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы площади параллелограмма: S = a * h, где a — длина основания, h — высота, опущенная на это основание.
Пусть стороны параллелограмма обозначены a и b, а диагональ — d. Также пусть перпендикуляр к диагонали опущен на сторону a и образует угол α с основанием. Тогда по теореме косинусов для треугольника с диагональю d и сторонами a и b:
d^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(γ), где γ — угол между сторонами a и b.
Так как диагональ перпендикулярна к стороне a, то γ = 90° — α. Также из условия задачи известно, что диагональ равна 18 см и угол α равен 30°. Подставляя эти значения в формулу, получаем:
18^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(60°)
324 = a^2 + b^2 — ab
Теперь нам нужно найти высоту h, опущенную на сторону a. Для этого можно воспользоваться формулой для площади параллелограмма:
S = a * h
Выражая h через S и a, получаем:
h = S / a
Так как мы знаем, что площадь параллелограмма равна:
S = ab*sin(γ) = ab*sin(90° — α) = ab*cos(α)
То можно записать:
h = ab*cos(α) / a = b*cos(α)
Теперь мы можем выразить b через a и h, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами a и h:
b^2 = d^2 — a^2 = 18^2 — a^2
b = sqrt(18^2 — a^2)
Теперь мы можем выразить площадь S через a и h:
S = ah = a*b*cos(α) = a*sqrt(18^2 — a^2)*cos(30°)
S = a^2*sqrt(324 — a^2)/2
Для нахождения максимальной площади параллелограмма нужно найти максимум функции S(a). Для этого можно найти производную функции и приравнять ее к нулю:
S'(a) = 2a*sqrt(324 — a^2)/2 — a^2*(1/2)*(324 — a^2)^(-1/2)*2a = 0
a*sqrt(324 — a^2) — a^3*(324 — a^2)^(-1/2) = 0
a^2*(324 — a^2) = a^2*(324 — a^2)^(3/2)
a^2 = 324 — a^2
a = sqrt(81) = 9
Таким образом, максимальная площадь параллелограмма достигается при a = 9 см, и равна:
S = 9^2*sqrt(324 — 9^2)/2 = 81*sqrt(567)/2 ≈ 1134.6 см^2
Ответ: площадь параллелограмма равна примерно 1134.6 см^2.
