Вопрос школьника
Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 12°. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ от учителя
Пусть диагонали прямоугольника имеют длины $a$ и $b$, а угол между диагональю и одной из сторон равен $12^circ$. Тогда, используя тригонометрические соотношения, можно выразить длины сторон прямоугольника через длины его диагоналей:
$$begin{cases}a^2+b^2=diag_1^2 \ ab=diag_2^2/2end{cases}$$
где $diag_1$ и $diag_2$ — длины диагоналей.
Разрешая эту систему уравнений относительно $a$ и $b$, получаем:
$$a=sqrt{frac{diag_1^2}{2}+frac{diag_2^4}{4diag_1^2}}$$
$$b=sqrt{frac{diag_1^2}{2}-frac{diag_2^4}{4diag_1^2}}$$
Теперь рассмотрим угол между прямыми, содержащими диагонали. Обозначим этот угол через $alpha$. Тогда, используя свойства параллельных прямых и теорему о сумме углов треугольника, получаем:
$$alpha=180^circ-angle A-angle B$$
где $angle A$ и $angle B$ — углы между диагоналями и сторонами прямоугольника.
Из геометрических соображений можно заметить, что $angle A=angle B=90^circ-12^circ=78^circ$. Тогда:
$$alpha=180^circ-2cdot78^circ=24^circ$$
Ответ: угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника, равен $24^circ$.
