Вопрос школьника
Диагональ прямоугольника образует угол 75° с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Пусть стороны прямоугольника равны a и b, а диагонали — d1 и d2. Так как диагональ образует угол 75° с одной из сторон, то можно записать:
tg(75°) = a/b
Отсюда можно выразить a и b:
a = b * tg(75°)
Теперь найдем длину диагонали d1:
d1^2 = a^2 + b^2
d1^2 = (b * tg(75°))^2 + b^2
d1^2 = b^2 * (tg^2(75°) + 1)
d1 = b * √(tg^2(75°) + 1)
Аналогично можно найти длину диагонали d2:
d2^2 = a^2 + b^2
d2^2 = (a * tg(15°))^2 + a^2
d2^2 = a^2 * (tg^2(15°) + 1)
d2 = a * √(tg^2(15°) + 1)
Теперь найдем угол между диагоналями. Для этого воспользуемся формулой косинусов:
cos(α) = (d1^2 + d2^2 — 2*d1*d2*cos(β)) / (2*d1*d2)
где α — угол между диагоналями, β — угол между диагональю d1 и стороной прямоугольника.
Угол β равен 75°, так как диагональ d1 образует с одной из сторон прямоугольника угол 75°. Подставляем известные значения:
cos(α) = (d1^2 + d2^2 — 2*d1*d2*cos(75°)) / (2*d1*d2)
cos(α) = (b^2*(tg^2(75°) + 1) + a^2*(tg^2(15°) + 1) — 2*a*b*cos(75°)) / (2*a*b)
cos(α) = (b^2*(tg^2(75°) + 1) + b^2*(tg^2(75°)/tg^2(15°)) — 2*b^2*cos(75°)) / (2*b^2*tg(75°))
cos(α) = (tg^2(75°) + 1 + tg^2(75°)/tg^2(15°) — 2*cos(75°)/tg(75°)) / (2*tg(75°))
cos(α) = (tg^2(75°) + tg^2(15°) + 2*tg(75°)*tg(15°) — 2*cos(75°)) / (2*tg(75°))
cos(α) = (tg^2(75°) + tg^2(15°) + 2*tg(75°)*tg(15°) — cos(15°)) / (2*tg(75°))
cos(α) = (tg^2(75°) + tg^2(15°) + 2*tg(75°)*tg(15°) — √3/2) / (2*tg(75°))
Теперь можно найти угол α:
α = arccos((tg^2(75°) + tg^2(15°) + 2*tg(75°)*tg(15°) — √3/2) / (2*tg(75°)))
Подставив числовые значения, получим:
α ≈ 31.7°
Ответ: угол между диагоналями прямоугольника составляет примерно 31.7°.
