Вопрос школьника
Диагональ прямоугольника равна d и образует с одной из сторон угол а. Найдите площадь прямоугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание тригонометрии и формулы площади прямоугольника.
Формула площади прямоугольника: S = a * b, где a и b — длины сторон прямоугольника.
Для нахождения площади прямоугольника, зная диагональ и угол, нам нужно найти длины сторон прямоугольника.
Обозначим стороны прямоугольника через a и b. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = d^2, где d — длина диагонали.
Также из геометрических соображений следует, что:
tg(a) = b / a
Отсюда можно выразить b через a:
b = a * tg(a)
Подставим это выражение для b в уравнение Пифагора:
a^2 + (a * tg(a))^2 = d^2
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
a^2 + a^2 * tg^2(a) = d^2
Вынесем a^2 за скобки:
a^2 * (1 + tg^2(a)) = d^2
Отсюда найдем a:
a = d / sqrt(1 + tg^2(a))
Теперь можем найти b:
b = a * tg(a) = d * tg(a) / sqrt(1 + tg^2(a))
И, наконец, площадь прямоугольника:
S = a * b = d * tg(a) / sqrt(1 + tg^2(a)) * d / sqrt(1 + tg^2(a)) = d^2 * tg(a) / (1 + tg^2(a))
Ответ: S = d^2 * tg(a) / (1 + tg^2(a))
