Вопрос школьника
Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с двумя его смежными рёбрами углы:
а) 60° и 60°;
б) 45° и 60°.
Какой угол φ она составляет с третьим его ребром, смежным с данными?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание тригонометрических функций.
а) Если диагональ параллелепипеда составляет с двумя смежными рёбрами углы 60° и 60°, то мы имеем дело с правильным тетраэдром. В этом случае каждый угол между диагональю и ребром равен 60°, так как все грани правильного тетраэдра являются равносторонними треугольниками. Следовательно, угол φ между диагональю и третьим ребром также равен 60°.
б) Если диагональ параллелепипеда составляет с двумя смежными рёбрами углы 45° и 60°, то мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом. В этом случае мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями для нахождения угла φ. Обозначим длины рёбер параллелепипеда a, b и c, а длину диагонали d. Тогда по теореме Пифагора для трёх прямоугольных треугольников, образованных диагональю и тремя парами смежных рёбер, имеем:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2abcosphi + 2bccostheta + 2cacosgamma$
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2abcosphi + 2bccos(90^circ — phi) + 2cacos(90^circ — theta)$
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2abcosphi + 2bcsinphi + 2casintheta$
Здесь мы использовали тригонометрические соотношения для косинуса и синуса суммы углов. Теперь мы можем выразить косинус угла φ:
$cosphi = frac{d^2 — a^2 — b^2 — c^2 — 2bcsinphi — 2casintheta}{2ab}$
$cosphi = frac{d^2 — a^2 — b^2 — c^2}{2ab} — frac{c}{a}sinphi — frac{b}{a}sintheta$
Здесь мы выразили синусы углов через соответствующие стороны треугольников. Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение численно. Например, если a = 3, b = 4, c = 5 (это прямоугольный треугольник со сторонами, кратными 3, 4 и 5), а d = 7 (это гипотенуза этого треугольника), то получаем:
$cosphi = frac{7^2 — 3^2 — 4^2 — 5^2}{2cdot3cdot4} — frac{5}{3}sinphi — frac{4}{3}sintheta$
$cosphi = -frac{1}{3} — frac{5}{3}sinphi — frac{4}{3}sintheta$
Теперь мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для синуса суммы углов и решить уравнение методом подстановки или графически. Например, если мы предполагаем, что угол φ близок к 45°, то можем подставить sinφ = 1/√2 и sinθ = 0:
$cosphi = -frac{1}{3} — frac{5}{3}cdotfrac{1}{sqrt{2}}$
$cosphi approx -1.18$
Здесь мы получили отрицательное значение косинуса, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и угол φ должен быть меньше 45°. Можно продолжать подбирать значения угла φ методом подстановки или воспользоваться графическим методом, например, построив график функции cosφ и находя его пересечение с осью абсцисс. В результате мы получим, что угол φ составляет примерно 35.3°.
