Вопрос школьника
Диагональ равнобедренной трапеции, длина которой равна 20 см, перпендикулярна боковой стороне. Вычислите длину окружности, диаметром которой является средняя линия трапеции, если отношение длин боковой стороны и большего основания равно 3:5.
Ответ от учителя
Для начала найдем высоту равнобедренной трапеции. Пусть она равна h. Так как диагональ перпендикулярна боковой стороне, то она делит трапецию на два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора в каждом из этих треугольников:
$$left(frac{h}{2}right)^2 + x^2 = a^2,$$
где x — половина боковой стороны, a — большее основание. Так как отношение длин боковой стороны и большего основания равно 3:5, то:
$$frac{x}{a} = frac{3}{5}.$$
Отсюда:
$$x = frac{3a}{5}.$$
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
$$left(frac{h}{2}right)^2 + left(frac{3a}{5}right)^2 = a^2.$$
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
$$frac{h^2}{4} = frac{4a^2}{25}.$$
Отсюда:
$$h = frac{4a}{5}.$$
Теперь найдем длину средней линии трапеции. Она равна полусумме оснований:
$$m = frac{a+b}{2} = frac{a+acdotfrac{5}{3}}{2} = frac{8a}{3}.$$
Диаметр окружности, описанной вокруг трапеции, равен высоте трапеции, то есть:
$$d = h = frac{4a}{5}.$$
Тогда длина окружности равна:
$$L = pi d = pi cdot frac{4a}{5} = frac{4pi}{5} cdot m = frac{32pi}{15}a.$$
Таким образом, длина окружности, диаметром которой является средняя линия равнобедренной трапеции, равна $frac{32pi}{15}$ раз большему основанию трапеции.
