Вопрос школьника
Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведённую из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна её меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет основания AB и CD, причем AB > CD, и высоту h, проведенную из вершины A. Пусть также диагональ AC делит высоту h на отрезки AD = 15 см и BC = 12 см.
Так как трапеция ABCD равнобокая, то ее диагонали AC и BD равны. Пусть диагональ AC равна d.
Тогда из прямоугольного треугольника ACD получаем:
h^2 = AD^2 + CD^2 = 15^2 + (AB — BC)^2
Из прямоугольного треугольника ABC получаем:
h^2 = BC^2 + (d — AB)^2
Сравнивая эти два выражения для h^2, получаем:
15^2 + (AB — BC)^2 = BC^2 + (d — AB)^2
Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем:
AB^2 — 2ABd + d^2 = 225 — 144 + AB^2 — 30AB + BC^2
Упрощая, получаем:
2ABd — d^2 = 81 + 30AB — BC^2
Так как AB = BC + CD, то заменяем AB на BC + CD и получаем:
2d(BC + CD) — d^2 = 81 + 30(BC + CD) — BC^2
Упрощая, получаем:
d^2 — 2dBC — 30CD = 81 — BC^2
Так как AC = BD, то из прямоугольного треугольника ABD получаем:
d^2 = AB^2 + AD^2 = AB^2 + 225
Заменяем d^2 на AB^2 + 225 и получаем:
AB^2 + 225 — 2BCAB — 30CD = 81 — BC^2
Упрощая, получаем:
AB^2 — BC^2 — 2BCAB + 30CD = -144
Так как AB = BC + CD, то заменяем AB на BC + CD и получаем:
(BC + CD)^2 — BC^2 — 2BC(BC + CD) + 30CD = -144
Упрощая, получаем:
CD^2 — 2BC^2 + 28BCD + 30CD + 144 = 0
Решая это квадратное уравнение относительно CD, получаем:
CD = (2BC^2 — 28BC — 144 + sqrt(4BC^4 — 112BC^3 + 784BC^2 + 14400)) / 60
Так как CD < BC, то берем только положительный корень и получаем: CD = (2BC^2 - 28BC - 144 + sqrt(4BC^4 - 112BC^3 + 784BC^2 + 14400)) / 60 Теперь можем найти площадь трапеции ABCD: S = (AB + CD) * h / 2 = (BC + CD + CD) * h / 2 = (BC + 2CD) * h / 2 Подставляем найденное значение CD и выражение для h через AB и BC: S = (BC + 2CD) * (AB - BC) / 2 = (BC + 2(2BC^2 - 28BC - 144 + sqrt(4BC^4 - 112BC^3 + 784BC^2 + 14400)) / 60) * (BC - (BC + 12)) / 2 Упрощая, получаем: S = (BC^2 - 20BC - 288 + sqrt(4BC^4 - 112BC^3 + 784BC^2 + 14400)) / 30 Теперь остается только решить это уравнение относительно BC и найти его положительный корень. Получаем: BC = 20 + sqrt(400 + 3sqrt(3)) / 6 ≈ 16.5 см Подставляем найденное значение BC в выражение для площади и получаем: S ≈ 198.5 см^2 Ответ: площадь трапеции ABCD примерно равна 198.5 см^2.
