Вопрос школьника
Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне. Найдите углы трапеции.
Ответ от учителя
Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны. Пусть также известно, что диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне BC, а меньшее основание CD равно боковой стороне BC.
Так как трапеция равнобокая, то ее диагонали равны. Поэтому AC = BD. Также, так как AC перпендикулярна к BC, то треугольник ABC является прямоугольным. Из этого следует, что AB^2 + BC^2 = AC^2.
Заменим в этом уравнении AC на BD: AB^2 + BC^2 = BD^2.
Также, так как CD = BC, то AB = AD + CD = AD + BC.
Подставим это выражение для AB в уравнение AB^2 + BC^2 = BD^2: (AD + BC)^2 + BC^2 = BD^2.
Раскроем скобки и упростим: AD^2 + 2AD*BC + 2BC^2 = BD^2.
Так как AC = BD, то AD^2 + 2AD*BC + 2BC^2 = AC^2.
Из этого уравнения можно выразить BC: BC = (AC^2 — AD^2)/(2AD).
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как он прямоугольный, то sin(∠ABC) = BC/AC.
Подставим выражение для BC: sin(∠ABC) = (AC^2 — AD^2)/(2AD*AC).
Также, так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB.
Из уравнения sin(∠ABC) = (AC^2 — AD^2)/(2AD*AC) можно выразить sin(∠ACB): sin(∠ACB) = AD/AC.
Таким образом, мы получили, что sin(∠ABC) = sin(∠ACB) = AD/AC.
Из этого следует, что ∠ABC = ∠ACB = arcsin(AD/AC).
Таким образом, мы нашли углы равнобокой трапеции, зная, что ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне, а меньшее основание равно боковой стороне.
