Вопрос школьника
Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите периметр трапеции, если ее меньшее основание равно 6 см.
Ответ от учителя
Пусть трапеция ABCD имеет меньшее основание AB = 6 см, а диагональ AC является биссектрисой угла A и перпендикулярна боковой стороне CD.
Так как AC является биссектрисой угла A, то угол BAC равен углу CAD. Также, так как AC перпендикулярна CD, то угол ACD равен 90 градусов. Значит, угол CAD также равен 90 градусов.
Таким образом, треугольник ACD является прямоугольным, а значит, по теореме Пифагора, AC^2 = AD^2 + CD^2.
Так как AC является диагональю, то она равна сумме оснований: AC = AB + CD. Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:
(AB + CD)^2 = AD^2 + CD^2
AB^2 + 2AB*CD + CD^2 = AD^2 + CD^2
AB^2 + 2AB*CD = AD^2
AD = sqrt(AB^2 + 2AB*CD)
Так как трапеция равнобокая, то ее диагонали равны: AC = BD. Значит, BD = AB + CD = AC.
Периметр трапеции равен сумме всех ее сторон: AB + BC + CD + DA. Так как AB = CD = 6 см, то остается найти BC и DA.
Так как AC является биссектрисой угла A, то BC/DA = AC/AD. Подставляя значения, получаем:
BC/DA = (AB + CD)/sqrt(AB^2 + 2AB*CD)
BC/DA = (6 + CD)/sqrt(36 + 12CD)
Также, так как AC перпендикулярна CD, то BC^2 + CD^2 = AC^2. Подставляя значения, получаем:
BC^2 + CD^2 = (AB + CD)^2
BC^2 + CD^2 = 36 + 12CD
Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (BC и CD). Решая их методом подстановки или методом исключения, получаем:
BC = 2sqrt(3) см
DA = sqrt(36 + 12CD)/2 см
CD = 2sqrt(3) см
Таким образом, периметр трапеции равен:
AB + BC + CD + DA = 6 + 2sqrt(3) + 2sqrt(3) + sqrt(36 + 12CD)/2
Подставляя значение CD, получаем:
AB + BC + CD + DA = 6 + 4sqrt(3) + sqrt(108)/2
AB + BC + CD + DA = 6 + 4sqrt(3) + 3sqrt(3)
AB + BC + CD + DA = 6 + 7sqrt(3)
Ответ: периметр равнобокой трапеции с меньшим основанием 6 см и диагональю, являющейся биссектрисой угла и перпендикулярной боковой стороне, равен 6 + 7sqrt(3) см.
