Вопрос школьника
Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл, а середню лінію —
на відрізки 3 см і 7 см. Знайдіть периметр трапеції
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно скористатися властивостями рівнобічної трапеції.
1. Діагональ рівнобічної трапеції ділить її гострий кут навпіл.
Отже, якщо ми позначимо точку перетину діагоналей трапеції як точку О, то ми можемо стверджувати, що кут AОB дорівнює куту COD.
2. Середня лінія трапеції ділиться діагоналлю на дві рівні частини.
Отже, якщо ми позначимо точку перетину середньої лінії з діагоналлю AB як точку М, а точку перетину середньої лінії з діагоналлю CD як точку N, то ми можемо стверджувати, що AM = MB і CN = ND.
Тепер ми можемо скласти систему рівнянь для знаходження довжин сторін трапеції.
Нехай AB = a, CD = b, BC = c і AD = d.
Тоді ми можемо записати наступні рівності:
a + b = 2x, де x — довжина діагоналі трапеції.
c = 2y, де y — довжина середньої лінії трапеції.
a + d = 2z, де z — довжина висоти трапеції.
AM = MB = 3 см.
CN = ND = 7 см.
За допомогою цих рівностей ми можемо виразити a, b, c і d через x, y і z.
a = x — b
d = x — b
c = 2y
a + b = 2x
a + d = 2z
AM = MB = 3
CN = ND = 7
За допомогою цих рівностей ми можемо знайти значення x, y і z.
З рівності a + b = 2x ми можемо виразити b через a і x:
b = 2x — a
З рівності a + d = 2z ми можемо виразити d через a і z:
d = 2z — a
З рівності AM = MB = 3 ми можемо виразити a через x і b:
a = x — b = x — (2x — a) = a — x
З рівності CN = ND = 7 ми можемо виразити b через c і d:
b = c — d = 2y — (2z — a) = a — 2z + 2y
Тепер ми можемо знайти значення x, y і z, розв’язавши систему рівнянь:
a + b = 2x
a + d = 2z
a = x — b
b = a — 2z + 2y
AM = MB = 3
CN = ND = 7
Розв’язавши цю систему, ми отримаємо:
a = 10 см
b = 6 см
c = 20 см
d = 10 см
x = 16 см
y = 5 см
z = 10 см
Отже, периметр трапеції дорівнює:
P = a + b + c + d = 10 + 6 + 20 + 10 = 46 см.
