Вопрос школьника
Диагональ ВD равнобедренной трапеции АВСD перпендикулярна к боковой стороне АВ, АD = a, ∠А = α. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть BC = d — это основание трапеции. Так как трапеция равнобедренная, то BC = AD = a. Также из условия задачи известно, что диагональ ВD перпендикулярна к боковой стороне АВ, следовательно, угол между BD и AD равен 90 градусов. Обозначим угол между BD и CD через β.
Так как трапеция равнобедренная, то ее высота проходит через середину отрезка BD. Обозначим середину отрезка BD через М. Тогда AM является высотой трапеции.
Так как AM является высотой трапеции, то угол между AM и CD также равен β. Также из треугольника AMD следует, что:
sin β = AM / AD = AM / a
Так как угол между BD и AD равен 90 градусов, то из треугольника ABD следует, что:
sin α = AM / BD
Так как BD является диагональю трапеции, то из прямоугольного треугольника BCD следует, что:
BD^2 = BC^2 + CD^2
BD^2 = a^2 + d^2
BD = √(a^2 + d^2)
Теперь мы можем выразить AM через α и d:
AM = BD * sin α = √(a^2 + d^2) * sin α
Таким образом, площадь трапеции равна:
S = (AB + CD) * AM / 2
S = (a + d) * √(a^2 + d^2) * sin α / 2
S = (a^2 + ad + d^2) * sin α / 2
Ответ: площадь трапеции равна (a^2 + ad + d^2) * sin α / 2.
