Вопрос школьника
Диагонали А1А4 и А2А7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность радиуса R, пересекаются в точке В (рис. 319). Докажите, что: a) A2A7 = 2R; б) АА1А2В и АВА40 — подобные равнобедренные треугольники; в) А1А4-А1А2 = R
Ответ от учителя
а) Рассмотрим треугольник A1A2B. Он равнобедренный, так как A1B = A2B (диагонали правильного десятиугольника равны между собой). Значит, угол A1BA2 равен углу A2BA1. Также угол A1BA2 является центральным углом, соответствующим дуге A1A2, и поэтому равен углу A4BA7 (так как дуги A1A2 и A4A7 равны). Таким образом, угол A4BA7 равен углу A2BA1, а треугольник A4BA7 также равнобедренный. Значит, A7B = A4B. Но A1B = A2B, поэтому A2A7 = A1A4 + A1B + B7A4 = 2R.
б) Треугольники АА1А2В и АВА40 подобны, так как углы A1А2В и А40АВ являются центральными углами, соответствующими равным дугам A1A2 и A4A0, и поэтому равны между собой. Также углы АА1В и АВА4 равны, так как это углы при основании равнобедренных треугольников А1А2В и А4А0В. Значит, треугольники подобны с коэффициентом 1:2 (так как A1A2 = 2A4A0).
в) Рассмотрим треугольник A1A2B. Он равнобедренный, так как A1B = A2B (диагонали правильного десятиугольника равны между собой). Значит, угол A1BA2 равен углу A2BA1. Также угол A1BA2 является центральным углом, соответствующим дуге A1A2, и поэтому равен углу A4BA7 (так как дуги A1A2 и A4A7 равны). Значит, угол A1BA4 равен половине угла A1BA2, то есть равен 36 градусам. Так как угол A1BA4 является центральным углом, соответствующим дуге A1A4, то дуга A1A4 также равна 36 градусам. Значит, длина дуги A1A4 равна 1/10 от длины окружности, то есть R*2π/10 = R*π/5. Также A1A2 = 2R*sin(36 градусов) (по формуле для правильного пятиугольника). Значит, A1A4 — A1A2 = R*π/5 — 2R*sin(36 градусов) = R*(π/5 — 2*sin(36 градусов)) = R.
