Вопрос школьника
Диагонали A1A4 и A2A7 правильного десятиугольника A1A2…A10, вписанного в окружность с центром O, пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник A1A2M и MA4O равнобедренные.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что в правильном десятиугольнике все стороны и углы равны между собой. Также заметим, что диагонали A1A4 и A2A7 пересекаются в точке M, которая является центром окружности, описанной вокруг треугольника A1A2A7. Таким образом, угол A1MA2 равен углу A2MA7, который, в свою очередь, равен углу A7OA2 (так как треугольник A2A7O равносторонний).
Теперь рассмотрим треугольник A1A2M. Угол A1MA2 равен углу A2MA7, а угол A1A2M равен половине угла A1OA2 (так как A1OA2 — это центральный угол, соответствующий дуге A1A2). Но угол A1OA2 равен 36 градусам (так как десятиугольник равносторонний), а значит, угол A1A2M равен 18 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник MA4O. Угол MA4O равен углу A2MA7, а угол MOA4 равен половине угла AOA4 (так как MO — это медиана треугольника AOA4). Но угол AOA4 равен 72 градусам (так как десятиугольник равносторонний), а значит, угол MOA4 равен 36 градусам.
Таким образом, мы получили, что углы A1MA2 и MA4O равны между собой, а также углы A1A2M и MA4O равны между собой. Значит, треугольники A1A2M и MA4O равнобедренные.
