Вопрос школьника
Диагонали АС и BD трапеции ABCD взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 соответственно. Найдите длину средней линии трапеции
Ответ от учителя
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Обозначим середины боковых сторон трапеции ABCD как E и F соответственно. Так как диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, то точки E и F являются серединами диагоналей.
Поэтому, длина средней линии трапеции EF равна полусумме длин оснований трапеции AB и CD:
EF = (AB + CD) / 2
Чтобы найти длину средней линии, нам нужно найти длины оснований AB и CD.
Так как диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, то они делят трапецию на четыре прямоугольных треугольника. Обозначим высоту трапеции как h. Тогда:
AC = EF + 2h
BD = EF + 2h
Так как диагонали равны 6 и 8 соответственно, то:
AC² + BD² = 6² + 8² = 100
(EF + 2h)² + (EF + 2h)² = 100
2EF² + 8hEF + 8h² = 100 — 8h²
2EF² + 8hEF + 16h² — 100 = 0
EF² + 4hEF + 8h² — 50 = 0
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
EF = (-b ± √(b² — 4ac)) / 2a
где a = 1, b = 4h, c = 8h² — 50.
EF = (-4h ± √(16h² — 4(8h² — 50))) / 2
EF = (-4h ± √(100 — 8h²)) / 2
EF = -2h ± √(25 — 2h²)
Так как длина средней линии не может быть отрицательной, то мы выбираем положительный корень:
EF = -2h + √(25 — 2h²)
Теперь мы можем найти длину средней линии:
EF = -2h + √(25 — 2h²)
AB = AC — 2h = EF + 2h — 2h = EF
CD = BD — 2h = EF + 2h — 2h = EF
EF = (AB + CD) / 2
EF = (EF + EF) / 2
EF = EF
Таким образом, длина средней линии трапеции равна:
EF = -2h + √(25 — 2h²)
где h — это высота трапеции.
