Вопрос школьника
Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что прямые ВС и AD параллельны, если ВО = 16 см, АО = 30 см, АС = 54 см и DO = 20 см.
Ответ от учителя
Для доказательства параллельности прямых ВС и AD воспользуемся теоремой о пересекающихся диагоналях в четырехугольнике.
Согласно этой теореме, если в выпуклом четырехугольнике пересекаются диагонали, то произведение длин отрезков каждой диагонали равно сумме произведений длин отрезков другой диагонали.
То есть, в нашем случае:
АО * ОС = ВО * ОD + ОВ * ОС
Подставляем известные значения:
30 * 54 = 16 * 20 + 16 * х
где х — длина отрезка ОС.
Решаем уравнение:
1620 = 320 + 16х
16х = 1300
х = 81.25
Таким образом, длина отрезка ОС равна 81.25 см.
Теперь рассмотрим треугольники АОС и ВОD. Они имеют общий угол при вершине О и соответственные стороны пропорциональны:
АО/ВО = ОС/OD
30/16 = 81.25/20
Отсюда получаем:
ОС = 48.75 см
Теперь сравним углы ВСА и ОDC. Они являются вертикальными (параллельными) и соответственными, так как образованы пересекающимися прямыми ВС и АО, и ОD и СА.
Таким образом, мы доказали, что прямые ВС и AD параллельны.
