Вопрос школьника
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) АВ и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.
Ответ от учителя
а) Векторы AB и DC не равны. Для доказательства этого рассмотрим треугольники AOD и COB. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OC, OD=OB, ∠AOD=∠COB), следовательно, третья сторона AD равна CB. Таким образом, вектор AB равен вектору OD, а вектор DC равен вектору OB. Очевидно, что векторы OD и OB не равны, следовательно, векторы AB и DC также не равны.
б) Векторы BC и DA равны. Для доказательства этого рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OC, OB=OD, ∠AOB=∠COD), следовательно, третья сторона AB равна CD. Таким образом, векторы BC и DA равны.
в) Векторы AO и OC не равны. Для доказательства этого рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OC, OB=OD, ∠AOB=∠COD), следовательно, третья сторона AB равна CD. Таким образом, векторы AB и DC равны. Однако, векторы AO и OC направлены в разные стороны, следовательно, они не равны.
г) Векторы AC и BD равны. Для доказательства этого рассмотрим треугольники AOB и COD. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AO=OC, OB=OD, ∠AOB=∠COD), следовательно, третья сторона AB равна CD. Таким образом, векторы AB и DC равны. Также заметим, что векторы AC и AB равны, а векторы BD и CD равны (так как треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, векторы AC и BD равны.
